В последния под-модул въведох качествените

или геометрични техники за решаване на диференциални уравнения

Видяхме, че с графика на дясната страна на уравнението

можем да намерим фазова линия

и виждаме общата картина на това как ще изглеждат решенията

В този под-модул ще представя друг начин за решаване на диференциални уравнения

това са т.нар. числови решения

но аз обичам да ги наричам изчислителни или алгоритмични

Много ми харесват тези методи - много са гъвкави

много често се използват

и достигат до същността на диференциалните уравнения

от гледна точка на динамични системи.

Ще го представя в три части

първо, ще прегледаме изчислителните методи,

след това, по избор,

ще навлезем в повече подробности

за да можете да ги ползвате сами, ако трябва,

а в третата част,

ще обобщим, ще се върнем с 1 стъпка,

и ще сравним различни методи за решаване.

Изчислителният метод, който ще представя,

е познат като метод на Ойлер.

Нека се върнем на примера, с който започнахме

Закона на Нютон за охлаждане, това описва

скоростта на промяна на температурата

главно Т е температура, малко t е време

на обект с начална температура 5 градуса,

поставен в стая 20 градуса.

Искаме да разберем температурата в по-късно време

искаме да имаме T като функция на времето

но в този метод

ще опитам да естимирам главно T, температурата

във време 2 минути, 4 минути, 6 минути, и т.н.

Започваме, къде другаде, от началото

Знаем, че температурата е 5

и имаме това диференциално уравнение - това правило

и мога да използвам тези 2 факта за да разбера

колко бързо температурата се променя

в началното време, когато Т = 5

и това прави диференциалното уравнение

казва ми - ако знам температурата,

колко бързо температурата се променя,

нека го направим

Използвам уравнението, определено от dT/dt

скоростта на промяна на температурата, в началното време

Ще попитам уравнението - вкарвам 5,

главно Т е 5, 20 минус 5 е 15,

по 0.2 ми дава 3 градуса в минута.

Това е скоростта на затопляне в началото

мога да използвам тази скорост за да разбера температурата по-късно

но има проблем - тази скорост не е константа

тя се променя постоянно

при всяка промяна в температурата, по малко,

производната също се променя, скоростта на промяна по малко,

изправени сме пред дилема

Имаме проблем: скоростта не е постоянна

трябва някак си да се справим с него

и механизмът, който използваме при метода на Ойлер

е да игнорираме проблема - представяме си че е константа

за, например, 2 минутен интервал

Представям си, че скоростта е константа за 2 минути

не е, но си представяме че е,

и ако тази скорост е постоянна за тези 2 минути

мога да разбера температурата след 2 минути

ОК, искам да знам Т(2) - температурата във време 2 минути,

2 минути след като обектът е поставен в стаята

Колко се затопля след тези 2 минути?

Затопля се с 3 градуса в минута,

и предполагаме, че е константа,

въпреки, че не е - игнорираме проблема

3 градуса в минута, за 2 минути

общо нарастване с 6 градуса

взимам тези 6 градуса, добавям ги към 5, получавам 11

и така намерих T(2)

вероятно не е точно,

защото си представихме някои неща,

но не е лоша прогноза.

Можем да направим нещо подобно, за да получим T(4) - да опитаме.