Na ultima sub-unidade, eu falei sobre derivadas,
talvez, tenha falado demais.
Mas o ponto principal é que:
a derivada de uma quantidade é sua
taxa de variação instantânea.
Apenas te informa quão rápido a quantidade está aumentando ou diminuindo
num momento específico de tempo
Agora estamos prontos para discutirmos equações diferenciais.
Elas são um outro tipo de sistema dinâmico.
Nas próximas leituras.
Eu te darei diferentes maneiras de pensar sobre equações diferenciais,
e resolvê-las,
e o que estas soluções representam
Com honestidade, não sei ainda a ordem de apresentação das próximas leituras,
mas estou seguro de quando chegarmos ao fim delas,
terás uma boa noção do que são equações diferenciais
o que suas soluções representam,
e com entende-las como sistemas dinâmicos.
Vamos começar.
Introduzirei as equações diferenciais com uma comparação com as funções iterativas,
o primeiro tipo de sistema dinâmico que estudamos
Aqui está uma função iterativa.
Esta notação deixa claro que precisamos
de um valor inicial
e então sempre obteremos o próximo valor aplicando a função ao valor presente.
O próximo valor na órbita ou itinerário é função do valor presente.
Esta função terá valores diferentes, dependendo de qual é o valor presente.
Uma equação diferencial é uma equação que envolve a derivada de uma função,
Assim, aqui a função é x(t).
Isto diz que a derivada de x é uma função de x
Tudo bem, vamos explicar
A derivada de x
que representa a variação instantânea de x
estão, ela nos informa como x varia
como x varia depende de x
é uma função de x
Se me deres x, Eu te digo quanto x está variando.
Aqui se me deres xn, Eu posso descobrir o próximo valor de xn.
Quando se resolve uma função iterativa
é preciso uma semente
a partir disto, posso calcular uma órbita.
a primeira iteração.,
a segunda iteração,
a terceira,
e por aí vai.
No caso de uma equação diferencial, você também precisará
de uma condição inicial, um ponto de partida.
que pode ser escrito como x0.
ou poderá escrever x no tempo 0
ou seja, é preciso um valor inicial para esta variável.
qualquer que seja.
e esta função descreve com a função varia.
não te dá a informação tão direta como aqui
onde apenas te informa o valor seguinte.
Aqui, a equação diferencial te informa
qual a taxa de variação em cada dado x.
A solução de uma equação diferencial não é exatamente uma órbita discreta,
mas sim uma função contínua.
A solução será uma função
x de t
t
há uma x(t)
e quem sabe ...
de novo, estou apenas preparando um exemplo
Assim, em vez de uma plotagem de uma série de tempo que salta os pontos
é apenas discreto
aqui é uma curva suave.
ela começa onde está a condição inicial
e então, aumenta ou diminui de acordo com as instruções que recebe
da equação diferencial
Esta é uma maneira que eu gosto de pensar nas equações diferenciais
Equações diferenciais são um Sistema Dinâmico
Um sistema que varia no tempo de acordo com uma regra bem definida.
E aqui está, a grosso modo, um exemplo de uma regra que pode lhe dar
uma maneira de pensar nisto.
Aqui está um navegador GPS embutido no i-phone
e aparelhos similares são instalados em muitos carros.
Você informa seu ponto de partida
e ele te dá um conjunto de direções
e estas direções te levam ao endereço desejado.
Aqui, eu pedi o caminho pra chegar a Bangor, Maine
partindo de onde estou, na faculdade.
E se eu pressionar inicio, isso me dará, com uma voz irritante, algumas direções como esta:
Voz GPS: "Chegando a trilha para Bangor, ME. Vire à sudoeste em Sea Urchin Rd."
Então, me dá o meu primeiro conjunto de direções.
E eu faço isso e chego num local diferente
porque eu fiz o que me disseram, eu sigo as instruções.
E então, me dá um conjunto diferente de direções
com base em onde estou atualmente.
assim, ele está continuamente atualizando o que está me dizendo.
O que me diz varia conforme eu me movo,
como meu valor x muda na equação,
e sempre está me dizendo o que fazer.
Então, uma equação diferencial age de maneira similar
exceto, as instruções dadas não são diretas.
Coisas do tipo: Vá por aqui ou por ali.
Mas, em vez disso, eles sempre estão me dizendo o quão rápido ir.
qual minha derivada deve ser
qual minha velocidade deve ser
e qual direção deve apontar.
A equação diferencial está me dizendo continuamente
qual será a derivada
Em todos os pontos, está falando continuamente comigo
com sua vozinha irritante.
E dessa forma, especifica uma curva através do espaço.
De maneira muito similar à uma função iterativa
Essa regra aplicada continuamente especifica uma órbita.
Assim, as equações diferenciais são um tipo diferente de sistema dinâmico,
mas são muito semelhantes às funções iterativas.
É uma regra que especifica um caminho através do espaço,
ou qualquer outra coisa.
desde que você dê uma condição inicial.
Então vamos voltar a analisar a equação.
Uma equação diferencial é uma equação desta forma.
A derivada de x é uma função de x.
Então, em palavras, esta equação diz o seguinte:
a taxa de variação de x, quão rápido x está aumentando ou diminuindo
isto é a derivada
é dado por, esse é o sinal de igualdade,
uma função de x
Assim como x muda, esta regra , esta função
estará sempre me dizendo, não o próximo valor de x.
mas o quanto x continua a variar.
Então, isso determina a variação em x
e da variação de x,
podemos descobrir x,
que é o que nos interessa.
Por exemplo, se você conhece a velocidade e direção,
podemos descobrir sua posição como uma função do tempo.
Na próxima aula, vou dar um exemplo específico,
e você verá como isso funciona.