Permítanme definir la derivada
con mayor formalidad.
Regresando al ejemplo
con el que iniciamos,
la velocidad promedio
del tiempo 1 al tiempo 2
es la distancia viajada
- durante el intervalo de tiempo -
dividida entre
el intervalo de tiempo en sí.
Entonces podemos decir:
permitamos que t2 (el segundo tiempo)
se acerque cada vez más a t1.
Eso es equivalente a decir:
si pienso en la velocidad promedio
como esto:
cambio en la posición
dividido entre
el cambio en el tiempo,
hagamos que este intervalo delta t
se acerque cada vez más a cero.
Si estoy pensando en términos
de esta notación:
delta s entre delta t,
quisiera que delta t esté cada vez
más cerca de cero.
Simplemente no puedo asignarle cero
porque entonces
estaría dividiendo entre cero,
pero le permito
estar cada vez más cerca de cero
y monitoreo el valor
de este número;
el valor de esta
proporción.
Y el resultado es la velocidad instantánea
y la notación para esto
suele ser ds/dt
en vez de estos triángulos, delta
que significa grandes cambios
usamos d minúscula que significa
cambio instantáneo.
Finalmente y de forma más general
pensemos de la derivada de x.
x puede ser cualquier función que cambie
puede ser posición,
puede ser temperatura,
puede ser población,
una función genérica cambiante,
no tiene que ser posición
y podemos preguntar:
¿cómo cambia instantáneamente?
la derivada de x, dx/dt
es la tasa de cambio instantáneo en x
ese es el tema clave
de esta sub unidad.
La derivada es la tasa
de cambio instantáneo.
Permítanme escribir otras
formas de visualizar esto.
También es la pendiente de x(t)
x(t) puede ser una curva, está bien.
Vimos en el video anterior cómo pensar
respecto a las pendientes de las curvas.
Y para aquellos que han tomado cálculo
la definición formal,
es el límite, mientras h se acerca a cero
x(t+h) - x(t) dividido entre h
que me gusta pensar como
el cambio en x
entre el cambio en t
en el límite en el que estos
cambios se vuelven muy pequeños.
Así que, nuevamente, la derivada es
la tasa de cambio instantáneo de x,
indica qué tan rápido está cambiando x
y puedes obtener distintos valores
dependiendo del tiempo.
Esto permite una función x
que crezca a distintas tasas
en distintos momentos en el tiempo.
Finalmente, algo acerca de notación.
Esta idea de la derivada es frecuentemente
denotada de esta manera que se lee x prima
y en la física e ingeniería,
uno utiliza frecuentemente esta notación
x punto
que significa derivada en el tiempo
En este curso, prácticamente siempre
usaré esta.
Ocasionalmente por error, podría usar esta.
No utilizaré esta, sin embargo
es probable que la veas en otros textos
o documentos particularmente si provienen
de la comunidad física o de ingeniería.