Επιτρέψτε μου τώρα να ορίσω την παράγωγο
λίγο πιο επίσημα.
Επιστρέφοντας στο παράδειγμα με το οποίο ξεκινήσαμε,
η μέση ταχύτητα, από τον χρόνο 1 στον χρόνο 2
είναι η απόσταση που διανύσαμε κατά τη διάρκεια αυτού του χρονικού διαστήματος
δια το χρονικό διάστημα καθ'αυτό.
Και τότε μπορούμε να πούμε, έστω ότι το t_2,
ο δεύτερος χρόνος, πλησιάζει όλο και περισσότερο το t_1,
αυτό είναι αντίστοιχο με το να πούμε,
αν σκεφτώ για τη μέση ταχύτητα ως εξής:
αλλαγή στη θέση προς αλλαγή στον χρόνο,
έστω οτι αυτό το χρονικό διάστημα Δt πλησιάζει στο 0.
Οπότε, αν σκέφτομαι στη βάση αυτού του συμβολισμού:
Δs προς Δt,
αφήνω το Δt να πλησιάσει όλο και περισσότερο στο 0
- δεν μπορώ απλά να βάλω εδώ 0 γιατί τότε θα διαιρώ με 0 -
αλλά το αφήνω να πλησιάσει όλο και περισσότερο στο 0
και θα παρακολουθήσω τι γίνεται αυτός ο αριθμός,
τι γίνεται αυτός ο λόγος.
Και το αποτέλεσμα είναι η στιγμιαία ταχύτητα,
και ο συμβολισμός για αυτό είναι, συχνά, Δs προς Δt,
οπότε, αντί για αυτά τα τρίγωνα - τα κεφαλαία δέλτα τα οποία σημαίνουν μεγάλη αλλαγή
χρησιμοποιούμε τα μικρά δέλτα που σημαίνουν στιγμιαία αλλαγή.
Έτσι, εν τέλει και λίγο πιο γενικά,
ας σκεφτούμε για την παράγωγο του x.
Εδώ το x μπορεί να είναι οποιαδήποτε τιμή η οποία αλλάζει
- θα μπορούσε να είναι θέση, θα μπορούσε να είναι θερμοκρασία, πλυθησμός -
είναι απλά μια γενική τιμή η οποία αλλάζει,
δε χρειάζεται να είναι θέση.
Και τώρα θα μπορούσα να ρωτήσω: "Πώς αλλάζει στιγμιαία;"
Οπότε, η παράγωγος του x, δx/δt,
είναι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής του x.
Αυτό είναι το σημαντικό στοιχείο που χρειάζεται να μάθετε από αυτή την υποενότητα:
η παράγωγος είναι ο στιγμιαίος ρυθμός μεταβολής.
Θα γράψω κάποιους ακόμη τρόπους να το εκφράσετε:
είναι επίσης η κλίση του x(t), το x(t) θα μπορούσε να ήταν μια καμπύλη
αλλά αυτό δεν είναι πρόβλημα, είδαμε στο προηγούμενο βίντεο
πως να σκεφτόμαστε σχετικά με την κλίση μιας καμπύλης.
Και, για όσους απο εσάς έχουν κάνει λογισμό,
αυτός είναι ο επίσημος ορισμός:
είναι το όριο καθώς το h πλησιάζει το 0:
x(t συν h), μείον x(t) προς h,
το οποίο προτιμώ να σκέφτομαι ως:
αλλαγή στο x προς αλλαγή στο t
στο όριο όπου αυτές οι αλλαγές γίνονται πολύ, πολύ μικρές.
Οπότε, και πάλι, η παράγωγος είναι
ο στιγμιαίος ρυθμός αλλαγής του x.
Σας λέει πόσο γρήγορα αλλάζει το x
και, μπορεί να πάρετε διαφορετικές τιμές, ανάλογα με τον χρόνο
οπότε αυτό επιτρέπει μια συνάρτηση του x που αυξάνεται
με διαφορετικούς ρυθμούς σε διαφορετικούς χρόνους.
Τέλος, λίγη μονάχα σημειολογία.
Αυτή η ιδέα της παραγώγου
είναι αρκετά σύνηθες
να συμβολίζεται με αυτόν τον τρόπο, x', ο οποίος διαβάζεται x τονούμενο (x-prime)
και, στη φυσική και τη μηχανική,
κανείς συχνά χρησιμοποιεί αυτό το συμβολισμό: x τελεία,
το οποίο σημαίνει παράγωγος χρόνου.
Σε αυτό το μάθημα θα χρησιμοποιούμε σχεδόν πάντα την πρώτη παράγωγο.
Μπορεί, κάποιες φορές, ίσως κατα λάθος, να χρησιμοποιήσω αυτήν
δεν θα χρησιμοποιήσω καθόλου αυτήν αλλά είναι πιθανό να τη δείτε
σε άλλα κείμενα ή άρθρα, ειδικά αν προέρχονται
από τον κλάδο της φυσικής ή μηχανικής.