Нека дефинираме производната
малко по-формално
Връщайки се към примера, с който започнахме,
средна скорост, от време 1 до време 2
е пътят изминат за този интервал от време,
разделен на самият интервал.
Затова казваме, нека t2,
второто време, се приближава до t1,
това е еквивалентно до твърдението
ако имаме предвид средна скорост
промяна в позицията, върху промяна във времето
нека интервалът от време, делта t, се приближава все повече до 0
като нотация:
делта s върху делта t
Приближавам делта t все по-близо до 0
Не мога просто да сложа 0, защото ще е деление на 0,
но мога да го приближавам все повече до 0
и да наблюдавам какво число се получава,
какво става с това съотношение,
и резултатът е моментната скорост,
а нотацията за това често е: ds върху dt,
вместо тези триъгълници - делти, които означават голяма промяна,
използваме малките d-та, които означават моментна промяна.
Малко по-общо
нека помислим за производната на x
тук x може да е произволна функция, която се променя,
може да е позиция, температура, население,
тя е просто обща функция, която се променя,
не е нужно да е точно позиция,
и може да попитаме: Как се променя моментно?
Производната на x, dx/dt,
е моментната скорост на промяна на x
това е основното, което трябва да знаете от този под-модул:
производната е моментната скорост на промяна.
Нека запиша още няколко начина да си го представите -
това е наклона на x при t. x(t) може да е крива
но няма проблем - видяхме в предишното видео
как да мислим за наклон на криви,
а за тези от вас, които са изучавали диференциално смятане,
ето формалната дефиниция:
това е лимита при h клонящо към 0
x от t плюс h, минус x от t върху h,
което аз си представям като:
промяна в x, върху промяна в t,
в лимита си, тези промени стават много, много мали
Отново, производната е:
моментната скорост на промяна на x
казва ни колко бързо x се променя
и може да получим различни стойности, в зависимост от времето
което позволява функция x да нараства
с различни скорости в различни моменти.
Последно, малко нотация:
тази идея за производна
често се
изобразява по този начин: чете се x-прим.
Във физиката и инжинерните науки
често се използва тази нотация: x-точка,
което означава времева производна.
В този курс ще използвам основно първата нотация.
Може инцидентно да използвам и този
Няма да използвам този въобще, но е вероятно да видите това
в други текстове или трудове, особено ако са от
физика или инжинерни науки.