إذاً دعوني الآن أعرّف المشتق
بشكل أكثر رسمية
بالعودة للمثال الذي بدأنا فيه،
السرعة المتوسطة، من الزمن 1 إلى الزمن 2
هل المسافة المجتازة خلال هذا الفاصل الزمني،
مقسمة على الفاصل الزمني نفسه،
وثمّ نستطيع أن نقول، حسناً، دع t2،
الزمن الثاني، يقترب أكثر وأكثر لـ t1،
هذا مرادف لقول
إذا فكرت بالسرعة المتوسطة كما يلي:
التغيير في الموضع، تقسيم التغيير في الزمن،
دع الفاصل الزمني هذا، دلتا t، يقترب أكثر وأكثر لـ 0،
إذاً، إن كنت أفكر بمصطلحات لهذا المفهوم:
دلتا s تقسيم دلتا t،
تركت دلتا t تقترب أكثر وأكثر لـ 0
لا أستطيع أن أُدخل 0 فقط هذا سيكون مقسم على 0،
لكن أدعه يقترب أكثر وأكثر وأكثر لـ 0
وأراقب ماذا تصبح هذه الأرقام،
ماذا تصبح هذه النسبة،
والنتيجة هي السرعة الآنية،
والترميز لهذا غالباً هو ds تقسيم dt،
إذاً بدلاً من هذه المثلثات - الدلتا، والذي يعني تغيير كبير،
نستخدم هذه الـ d الصغيرة والذي تعني: تغيير آني.
إذاً، أخيراً، وبشكل عام أكثر قليلاً،
دعونا نفكر بمشتق الـ x
إذاً x هنا يمكن أن تكون أيّة دالة تتغير إطلاقاً.
هذا يمكن أن يكون الموضع، يمكن أن يكون درجة الحرارة، يمكن أن يكون تعداد السكان،
إنّها فقط دالةٌ عامةٌ ما والتي تتغير،
لا يجب أن يكون موضع،
ونستطيع أن نسأل: كيف تتغير بشكل آني؟
إذاً، مشتق x المقدار dx/dt،
هو مقدار التغيير الآني للمتغير x
هذا الشيء الرئيسي الذي تحتاجون لمعرفته من الوحدة الفرعية هذه:
المشتق هو مقدار التغيير الآني.
دعوني أكتب عدة طرق أخرى لتصوّر هذا -
إنّه أيضاً الميل لـ (x(t. إن (x(t يمكن أن تكون مُنحني -
لكن لا بأس بهذا - لقد رأينا في الفيديو السابق
كيف نفكر بميل منحني،
ولهؤلاء منكم الذين تعاملوا مع التفاضل والتكامل
ها هنا التعريف الرسمي:
إنّه النهاية عندما h تذهب إلى 0
x لـ t+h، ناقص x لـ t تقسيم h،
والذي أود أن أفكر به كـ:
التغيير في x، تقسيم التغيير في t،
في النهاية عندما تصبح فيه هذه التغييرات صغيرة جداً جداً.
إذاً، مجدداً، المشتق هو:
مقدار التغير الآني للمتغير x
يُخبرك بأي سرعة تتغير x
وربما تحصل على قيم مختلفة، اعتماداً على الزمن
إذاً هذا يسمح للدالة x والتي تتوسع
على نسب مختلفة، بأزمنة مختلفة.
أخيراً، فقط مفهوم صغير:
إذاً فكرة المشتق
غالباً ما
لتلاحظها بهذه الطريقة: والتي يجب أن تُقرأ x-أولي،
وفي الفيزياء والهندسة،
أحدٌ ما غالباً يستخدم هذا المفهوم: x نقطة،
والذي يعبر عن مشتق الزمن.
في هذه الدورة نحن تقريباً دائماً نستخدم هذا المشتق الأول.
أنا ربما أحياناً، بالخطأ، استخدمت هذا،
لن أستخدم هذا على الإطلاق، لكن من المرجح أن تروا هذا
في نصوص أو أوراق أخرى خصوصاً إذا كانت من
المجتمع الفيزيائي أو الهندسي.