Σε αυτή την υποενότητα, θα παρουσιάσω την ιδέα της παραγώγου (derivative)

η οποία είναι η κεντρική ιδέα του διαφορικού λογισμού.

Αν είχατε κάνει λογισμό πρόσφατα

ή αν νιώθετε αρκετά οικεία με αυτόν

μπορείτε πιθανόν να παραλείψετε αυτό το βίντεο

καθώς το υλικό είναι αρκετά κοινό.

Λοιπόν, θα ξεκινήσουμε με το σκεφτούμε σχετικά με ρυθμούς μεταβολής.

Έτσι, σαν ένα παράδειγμα,

υποθέστε οτι κάνετε μια βόλτα με το ποδήλατο για 30 λεπτά

και, στο τέλος αυτών των 30 λεπτών, έχετε διανύσει 21 χιλιόμετρα

και μπορεί να θέλετε να μάθετε: κατά μέσο όρο, πόσο γρήγορα πήγαινα;

Ποιά ήταν η μέση ταχύτητα μου κατά τη διάρκεια αυτής της βόλτας;

Μπορούμε να το υπολογήσουμε αυτό ως εξής:

Οπότε, μέση ταχύτητα - πόσο γρήγορα πηγαίνατε κατά την 30λεπτη βόλτα με το ποδήλατο

Αυτή είναι η αλλαγή στη θέση,

πόσο μακριά έχετε πάει, προς την αλλαγή στο χρόνο

και αυτό σημαίνει πόσος χρόνος έχει περάσει,

για πόσο ποδηλατούσατε.

Σε σύμβολα, αυτό συχνά γράφεται Δ s προς Δ t,

"Δέλτα", αυτό το τρίγωνο, σημαίνει "μεταβολή σε".

Το s εδώ συμβολίζει τη μεταβολή στη θέση - πόσο μακριά πήγατε,

και, έτσι, πήγατε 21 χιλιόμετρα σε 30 λεπτά

και έτσι αυτό θα ήταν 0.7

και αυτές οι μονάδες είναι χιλιόμετρα ανά λεπτό.

Τώρα, αυτό δε σημαίνει οτι

κάθε στιγμή πηγαίνατε με ακριβώς 0.7 χιλιόμετρα ανα λεπτό.

Κατα πάσα πιθανότητα, κάποιες φορές πηγαίνατε πιο γρήγορα και κάποιες πιο αργά,

πιο γρήγορα στην κατηφόρα, πιο αργά στην ανηφόρα,

πιο γρήγορα όταν νιώθατε περισσότερο ενεργητικοί

πιο αργά όταν ήσασταν κουρασμένοι.

Οπότε, αυτό είναι μια μέση τιμή.

Δεν πηγαίνατε με αυτή τη ταχύτητα διαρκώς

αλλά, κατα μέσο όρο, αυτή ήταν η ταχύτητα σας.

Αλλά τότε μπορεί να ρωτήσετε μια άλλη ερώτηση:

Πόσο γρήγορα πηγαίνατε, ας πούμε,

10 λεπτά, ακριβώς στα 10 λεπτά της διαδρομής σας;

Αυτή είναι μια διαφορετικού τύπου ερώτηση.

Ρωτάει την ταχύτητα σας - πόσο γρήγορα πηγαίνατε

σε μια συγκεκριμένη στιγμή, οχι καθ' όλη τη διάρκεια των 30 λεπτών.

Έτσι, αυτή είναι μια περισσότερο δύσκολη και λεπτή ερώτηση.

Ένας τρόπος που μπορεί να σκεφτείτε να την απαντήσετε είναι

να κοιτάξετε την μέση ταχύτητα σας σε ένα χρονικό διάστημα κοντά

σε αυτό το σημείο των 10 λεπτών

Οπότε, για να γράψω πώς μπορεί να σκεφτείτε σχετικά με αυτό.

Μπορεί να πείτε: η μέση ταχύτητα

από t ίσον 9 έως t ίσον 11 λεπτά,

ίδια βασική ιδέα - είναι μια μέση τιμή

αλλά, τώρα, το χρονικό διάστημα είναι μικρότερο,

και παρατηρήστε οτι τα 10 λεπτά είναι ακριβώς ανάμεσα στα 9 και τα 11,

και, τότε, αυτή θα ήταν η απόσταση που διανύσατε σε αυτό το χρόνο,

σε αυτή τη περίπτωση, όχι καθ' όλη τη διαδρομή σας

αλλά απλά τη διαδρομή από t ίσον 9 έως 11,

και θα διαιρέσετε αυτό με το χρόνο ο οποίος πέρασε

και αυτό απλά θα ήταν 2 λεπτά.

Έτσι, αυτό θα ήταν,

και απλά επινοώ έναν αριθμό για να γίνει πιο συγκεκριμένο,

ίσως σε αυτά τα δύο λεπτά, από t ίσον 9 έως t ίσον 11 της διαδρομής σας

ας πούμε οτι διανύσατε 1,2 χιλιόμετρα,

διαιρέστε με 2 λεπτά,

και ας πούμε οτι αυτό θα ήταν 0.6 χιλιόμετρα το λεπτό,

άρα, η μέση ταχύτητα σας από

t ίσον 9 έως 11, σε αυτή την περίπτωση,

και απλά επινοώ αυτά τα νούμερα ώστε να έχουμε κάτι να αναλύσουμε,

είναι λίγο λιγότερο από τη μέση ταχύτητα σας.

Πηγαίνατε λίγο πιο αργά από το μέσο εδώ.