В този подмодул, ще представя идеята за производна, която е централна за диференциалното смятане Ако сте учили тази материя наскоро и се чувствате комфортно с нея вероятно можете да пропуснете това видео понеже материалът е стандартен. Започваме, мислейки за скоростта на промяна Например, да вземем, 30 минутно пътуване с велосипед в края на 30-те минути, сте изминали 21 км и искате да разберете средно колко бързо сте се движили. Каква е била средната ми скорост в това пътуване? Можем да го изчислим по следния начин: Средната скорост - колко бързо сме се движили през 30-те минути от пътуването това е промяната на позицията, колко далеч сте пътували за определено време а това означава колко време е минало колко време сте карали колелото. Като символ, често се използва делта s върху делта t, 'делта', това триъгълно нещо, означава 'промяна в' s тук означава промяна в позицията - колко далеч сте стигнали, значи, минали сте 21 км за 30 минути и това ще бъде 0.7 а мерната единица е км в минута. Това не означава, че по всяко време се движите с точно 0.7 км в минута най-вероятно понякога сте по-бързи, понякога - по-бавни по-бързи по надолнище, по-бавни по нагорнище, по-бързи когато имате енергия по-бавни, когато сте уморени Това е средно. Не сте се движили с тази скорост през цялото време, но средно това е била вашата скорост. Но може да ви интересува друг въпрос: Колко бързо сте се движили да речем точно 10 минути след началото на пътуването. Това е друг вид въпрос. Става въпрос за скоростта - колко бързо сте се движили в точно този момент, не през целите 30 минути. Това е по-труден и неочевиден въпрос. Един начин да се отговори е: Виж средната скорост за времеви интервал, близък до тази точка при 10 минути. Нека запишем как може да го разгледаме. Може да кажем: средната скорост от t = 9 до t = 11 минути, същата идея - средна скорост, но времевият интервал е по-малък, и забележете, че 10 е точно между 9 и 11, и това ще бъде пътят, изминат за това време, в този случай, не през цялото пътуване, а само от t=9 до 11, и ще го разделим на изминалото време, което е 2 минути. Т.е. може да бъде, и нека измислим едно число, за да говорим конкретно може би в тези 2 минути, от t=9 до t=11 от вашето пътуване да кажем, сте изминали 1.2 км разделено на 2 минути да кажем, че това са 0.6 км в минута, и вашата средна скорост от t=9 до 11, в този случай, и числата си ги измислям, за да имаме за какво да говорим, е малко по-малко от вашата средна скорост. Тук се движите малко по-бавно от средното.