Есть ещё один аспект касательно итерированных фукнций

который я бы хотел кратко упомянуть или напомнить

и это то, что в этих итерированных функциях время дискретно.

Мы начинаем со значения x0 = 2

можно понимать это значение в момент времени 0.

Далее, первая итерация

это было бы значение в момент времени 1, и это 4

значение в момент времени 2, вторая итерация - 5

и так далее.

Как мы делали уже ранее,

мы можем построить график зависимости от времени.

Вот он

для первых 4 или 5 итераций этой функции, 2, 4, 5

и можно видеть, что значения начинаются с 2

затем 4, затем 5, как мы и ожидаем.

Обычно мы рисуем линию между точками,

поскольку это делает график более наглядным,

читаемым,

но её не нужно понимать буквально.

Значение прыгает с 2 до 4,

оно не принимает промежуточных значений между ними

т.е. есть значение здесь и здесь

и происходит скачок от одного к другому.

Между ними ничего нет.

Ни в одной этой точке,

ни в одном промежуточном значении.

Мы можем нарисовать фазовую линию

и оказывается, что у этой функции

есть единственная притягивающая фиксированная точка в 6.

То есть стрелки у нас входят

в фиксированную точку 6,

и, если мы посмотрим на эту линию,

мы можем решить, что точка отправилась бы отсюда,

и соскользнула прямо в 6,

но на самом деле она прыгает из 2 в 4, в 5 и так далее.

Так что, возможно, стоило нарисовать так:

первый прыжок, следующий,

следующий и так далее.

По соглашению, так не рисуют, но это бы лучше отражало картину.

Подчеркну ещё раз: в итерированных функциях

значение прыгает от одного к другому,

и не принимает никаких промежуточных.

Дифференциальные уравнения, основная тема этого раздела,

- иные, в том смысле, что они анализируют ситуацию

где значение меняется непрерывно.

Ну, например, температура чашки кофе:

если начальное значение было 40 градусов, и чуть позже - 30 градусов,

мы можем быть уверены, что не прыгнуло мгновенно с 40 к 30,

но приняло все промежуточные значения.

Т.е. ДУ описывают непрерывно меняющиеся феномены

а итерированные функции - те, что меняются скачками.

ДУ это раздел математики,

который часто объясняют с применением исчислений.

Но в этом курсе я объясню это с минимумом исчислений,

почти совсем без них.

Я думаю, такой подход в объяснении ДУ

на самом деле облегчает понимание ДУ

и того что они представляют по сути.

Так что если исчисления вы раньше не изучали, не волнуйтесь.

В нескольких следующих подмодулях

я буду использовать лишь несколько идей и концепций из исчислений

и я объясню их по дороге,

и даже есть у вас уже был курс по ДУ,

думаю, в этом модуле все равно будет много нового для вас.

Техники, которые я покажу,

вы скорее всего не видели во вводном курсе ДУ,

особенно, если он подавался традиционным образом.

Итак, в нескольких следующих подразделах я расскажу о ДУ

и дам несколько подходов к тому

чтобы их решить, и, что более важно,

что эти решения означают.

В следующем подразделе мы начнём с введения понятия производной.