Есть ещё один аспект касательно итерированных фукнций
который я бы хотел кратко упомянуть или напомнить
и это то, что в этих итерированных функциях время дискретно.
Мы начинаем со значения x0 = 2
можно понимать это значение в момент времени 0.
Далее, первая итерация
это было бы значение в момент времени 1, и это 4
значение в момент времени 2, вторая итерация - 5
и так далее.
Как мы делали уже ранее,
мы можем построить график зависимости от времени.
Вот он
для первых 4 или 5 итераций этой функции, 2, 4, 5
и можно видеть, что значения начинаются с 2
затем 4, затем 5, как мы и ожидаем.
Обычно мы рисуем линию между точками,
поскольку это делает график более наглядным,
читаемым,
но её не нужно понимать буквально.
Значение прыгает с 2 до 4,
оно не принимает промежуточных значений между ними
т.е. есть значение здесь и здесь
и происходит скачок от одного к другому.
Между ними ничего нет.
Ни в одной этой точке,
ни в одном промежуточном значении.
Мы можем нарисовать фазовую линию
и оказывается, что у этой функции
есть единственная притягивающая фиксированная точка в 6.
То есть стрелки у нас входят
в фиксированную точку 6,
и, если мы посмотрим на эту линию,
мы можем решить, что точка отправилась бы отсюда,
и соскользнула прямо в 6,
но на самом деле она прыгает из 2 в 4, в 5 и так далее.
Так что, возможно, стоило нарисовать так:
первый прыжок, следующий,
следующий и так далее.
По соглашению, так не рисуют, но это бы лучше отражало картину.
Подчеркну ещё раз: в итерированных функциях
значение прыгает от одного к другому,
и не принимает никаких промежуточных.
Дифференциальные уравнения, основная тема этого раздела,
- иные, в том смысле, что они анализируют ситуацию
где значение меняется непрерывно.
Ну, например, температура чашки кофе:
если начальное значение было 40 градусов, и чуть позже - 30 градусов,
мы можем быть уверены, что не прыгнуло мгновенно с 40 к 30,
но приняло все промежуточные значения.
Т.е. ДУ описывают непрерывно меняющиеся феномены
а итерированные функции - те, что меняются скачками.
ДУ это раздел математики,
который часто объясняют с применением исчислений.
Но в этом курсе я объясню это с минимумом исчислений,
почти совсем без них.
Я думаю, такой подход в объяснении ДУ
на самом деле облегчает понимание ДУ
и того что они представляют по сути.
Так что если исчисления вы раньше не изучали, не волнуйтесь.
В нескольких следующих подмодулях
я буду использовать лишь несколько идей и концепций из исчислений
и я объясню их по дороге,
и даже есть у вас уже был курс по ДУ,
думаю, в этом модуле все равно будет много нового для вас.
Техники, которые я покажу,
вы скорее всего не видели во вводном курсе ДУ,
особенно, если он подавался традиционным образом.
Итак, в нескольких следующих подразделах я расскажу о ДУ
и дам несколько подходов к тому
чтобы их решить, и, что более важно,
что эти решения означают.
В следующем подразделе мы начнём с введения понятия производной.