Há mais um aspecto das funções iterativas
que eu mencionarei brevemente, ou te lembrarei sobre,
é que o tempo é discreto nestas funções.
Assim, começamos com a semente : X(0) igual à 2.
Vemos isto como o valor da função no tempo zero (0).
Então, temos a primeira iteração.
Este seria o valor no tempo 1, que é igual à 4.
O valor no tempo 2, ou a segunda iteração, é 5.
e assim segue.
Conforme fizemos antes,
podemos plotar isto como uma série no tempo.
Aqui está a série
para as primeiras 4 ou 5 iterações desta função 2, 4, 5
e podemos ver que a série começa no 2.
e vai para o 4, para o 5, conforme esperado.
Agora, nós traçamos uma linha entre os pontos.
só porque deixa o gráfico com uma aparência mais atraente,
fica mais fácil de ler.
mas esta linha não pode ser considerada literalmente.
porque o valor salta de 2 para 4,
Não desliza entre o 2 e o 4.
ou seja, ele tem um valor aqui e outro aqui.
e apenas salta de um valor para o outro.
não existe valor entre eles.
não existe valor entre todos estes pontos.
ou valores intermediários.
Podemos traçar uma linha de fase
isto significa que esta função
tem um único atrator fixo no ponto 6.
Assim, temos setas chegando nele,
no ponto fixo em 6.
e se observarmos esta linha de fase
poderíamos pensar que o ponto iniciaria aqui.
e deslizaria para o 6.
mas, na realidade, ele salta do 2 para o 4, para 5 e assim por diante.
Então, deveria ser desenhado assim.
este é o primeiro salto, o próximo,
o próximo e assim por diante.
Por convenção não é desenhado assim, mas isto permite uma melhor compreensão.
Então, novamente, apenas para ressaltar: nestas funções iterativas.
o número salta de um para outro.
e não passam por valores intermediários.
Equações diferenciais, que é o principal assunto discutido nesta unidade,
são diferentes, do modo que tratam esta situação
onde a variável muda continuamente.
Então, por exemplo, a temperatura numa xícara de café:
Se a temperatura começa em 40 graus e após um pequeno intervalo é 30 graus
podemos ter certeza que não foi um salto instantâneo do 40 para o 30.
mas deve ter passado por toda a escala de possíveis temperaturas entre o 40 e o 30.
Assim, as equações diferenciais descrevem continuamente a variação de um fenômeno.
e as funções iterativas descrevem a variação do fenômeno em saltos discretos.
Equações diferenciais são um tópico em matemática
que tipicamente é ensinado com muitos fundamentos em cálculo.
Mas neste curso, ensinaremos elas com um mínimo de cálculo.
quase que nenhum conceito de cálculo.
Penso que este modo de ensinar equações diferenciais
realmente torna mais fácil compreender o que são as equações diferenciais
e o que elas representam.
Assim, se você não aprendeu cálculo antes, não se preocupe.
Nas próximas sub-unidades,
Usarei apenas poucas ideias e conceitos do cálculo
e irei explicá-los durante o curso.
e se você teve aulas de equações diferenciais antes,
penso que aprenderá muita coisa nova nesta unidade.
As técnicas que eu apresentarei na maioria,
não são apresentadas num curso introdutório de equações diferenciais.
particularmente, se forem apresentadas de maneira convencional.
Então, nas próximas sub-unidades, apresentarei as equações diferenciais
e te darei diferente formas de pensar
como resolvê-las, e mais importante,
o que as soluções representam
Começaremos na próxima seção, onde apresentarei o conceito de derivada.