Hay un aspecto más de las funciones iteradas
que me gustaría mencionar o recordar brevemente
y es que el tiempo esta discretizado, (función discreta) en esas funciones iteradas
Asi, si empezamos con el origen: X sub 0 igual a 2
podemos pensar que este es el valor en el instante 0
y aqui esta la primera iteración
este podria ser el valor en el instante 1, que en este caso es 4
el valor en el instante 3, o segunda iteración, es 5
y asi sucesivamente
Como hicimos antes,
se puede dibujar esto en un diagrama temporal
Aqui esta el diagrama temporal
para los primeros instantes, 4 o 5 son las iteraciones de la funcion, 2, 4, 5
Podemos ver que el valor comienza en 2
y va a 4, luego a 5, como esperabamos
Normalmente unimos los puntos
simplemente porque asi la gráfica es más atractiva
y es más fácil de leer
pero esta línea no puede tomarse literalmente
asi, el valor realmente salta de 2 a 4
no se desliza entre 2 y 4
es decir, tiene un valor aqui, tiene un valor alli
y simplemente salta de un punto al otro
no tiene que ir entre medias
no va a través de los puntos intermedios
o valores intermedios
Podemos dibujar la linea de fase
asi, resulta, que esta función
tiene un solo punto atractor en 6
Por lo tanto, tenemos flechas acercandose
al punto fijo 6
y si miramos a la línea de fase.
podriamos pensar que un punto comenzaría aqui
y se deslizaría hasta el 6
pero, realmente, salta desde 2 hasta 4, hasta 5 y asi sucesivamente
asi pues, deberiamos dibujarlo de esta manera:
aqui esta el primer salto, el segundo
el siguiente y asi sucesivamente
Por convenio, nadie dibuja de esta manera pero este dibujo podria se más exacto
Esto es, de nuevo, insisto; en estas funciones iteradas
el número salta de uno a otro
y no pasa por los valores intermedios
Las ecuaciones diferenciales, que son el objeto fundamental de esta leccion,
son diferentes; en ese caso se analiza una situación
donde una variable cambia de manera continua
Por ejemplo, la temperatura de una taza de cafe
si la temperatura empieza en 40 grados, y un poco mas tarde esta en 30 grados
podemos estar seguros que no ha saltado de forma instantanea de 40 a 30
sino que ha pasado por todas las temperaturas posibles entre 40 y 30
asi pues, las ecuaciones diferenciales describen fenomenos continuos
y estas funciones iteradas describen fenómenos que cambian en saltos
Las ecuaciones diferenciales son un tema matemático
que normalmente se introduce utilizando grandes cantidades de Calculo (diferencial)
Sin embargo, en este curso, voy a explicarlo con la minima cantidad de Cálculo
casi ninguno
Creo que esta forma de explicar las ecuaciones diferenciales
hace más fáciles de entender que son realmente las ecuaciones diferenciales
y lo que significan
Asi pues, si no han asistido a ninguna clase de Cálculo, no se preocupen
en las proximas lecciones
solo voy a utilizar unas pocas ideas y conceptos de Cálculo
y los explicare sobre la marcha
y si han acudido a lecciones de cálculo en el pasado
Creo que tambien encontraran cosas útiles en esta lección
Porque las técnicas que voy a explicar
probablemente no las hayan visto en las lecciones introductorias de ecuaciones diferenciales
particularmente si se han explicado de una manera tradicional
Por eso, en las proximas lecciones, introducire el concepto de ecuaciones diferenciales
y daré un conjunto de formas de abordar el problema
de su solución y, quiza mas importante,
lo que esas soluciones significan
Empezaremos en la proxima sección, donde introducire la idea de la derivada