Има още един аспект на итерираните функции, който искам да спомена, или да ви припомня и това е, че времето е отделено в тези итерирани функции. Започваме със семе: x0 = 2 Можем да го разглеждаме като стойност във време (0) Тогава, тук, в първата итерация това може да бъде стойността при време 1, което е 4, стойността при време 2, втората итерация, е 5, и т.н. Както преди можем да го скицираме в чертеж на времеви серии. Ето чертеж на времеви серии за първите 4 или 5 итерации на нази функция 2, 4, 5 и виждаме, че стойността започва от 2, отива до 4, отива до 5, точно както очакваме Обикновено чертаем линия между точките защото така графиката е по-пригледна по-лесна за разчитане но не трябва да взимаме линията буквално Стойността прескача от 2 до 4. Не се приплъзва от 2 до 4, така че има стойност тук, има стойност тук и просто скача от едната до другата. Няма междинна стойност и не минава през всички тези междинни и средни стойности. Можем да начертаем фазова линия, излиза, че тази функция има една привличаща фиксирана точка в 6 Стрелките сочат в една и съща посока към фиксираната точка 6 и ако погледнем тази фазова линия може да помислим, че точката може да започне тук и да се приплъзне до 6, но всъщност, прави скок от 2 до 4, до 5 и т.н. Затова, може да я нарисуваме така: ето го скокът, следващият скок, следващият и т.н. По принцип не се рисува така, но може би е по-добре графично. Отново, подчертаваме: При итерираните функции числото скача от една на друга стойност без да преминава през междинни стойности Диференциалните уравнения, които са основна тема в този модул, са различни, защото анализират ситуация, при която променливата се променя непрекъснато. Например, температурата на чаша кафе: ако температурата започва при 40 градуса, и по-късно е 30 градуса, можем да сме сигурни, че не е скочила внезапно от 40 до 30, а е преминала през всички възможни температури между 40 и 30. Диференциалните уравнения описват непрекъснато променящи се феномени, а тези итерирани функции описват феномен, който се променя на скоци. Диференциалните уравнения са тема в математиката, която обикновено се представя чрез много висша математика. Все пак в този курс, ще ги опишем със съвсем малко такава, почти никаква. Мисля, че този начин на представяне на диференциалните уравнения всъщност улеснява разбирането на същността им и какво наистина означават. Така че, ако не сте изучавали висша математика преди, не се притеснявайте В следващите подмодули Ще използвам някои идеи и концепции от висша математика и ще ги обясня в течение на видеата, а ако вече сте изучавали диференциални уравнения, мисля че все пак ще има и много новости за вас в този модул Техниките, които ще представя най-вероятно не сте виждали при въведение в диференциалните уравнения особено, ако са преподавани по традиционния начин. В следващите няколко подмодула, ще представя диференциални уравнения и ще ви дам различни идеи за това как да ги решавате и по-важното какво означават тези решения. Ще започнем в следващия подмодул, където ще представя идеята за дериватив.