Има още един аспект на итерираните функции,
който искам да спомена, или да ви припомня
и това е, че времето е отделено в тези итерирани функции.
Започваме със семе: x0 = 2
Можем да го разглеждаме като стойност във време (0)
Тогава, тук, в първата итерация
това може да бъде стойността при време 1, което е 4,
стойността при време 2, втората итерация, е 5,
и т.н.
Както преди
можем да го скицираме в чертеж на времеви серии.
Ето чертеж на времеви серии
за първите 4 или 5 итерации на нази функция 2, 4, 5
и виждаме, че стойността започва от 2,
отива до 4, отива до 5, точно както очакваме
Обикновено чертаем линия между точките
защото така графиката е по-пригледна
по-лесна за разчитане
но не трябва да взимаме линията буквално
Стойността прескача от 2 до 4.
Не се приплъзва от 2 до 4,
така че има стойност тук, има стойност тук
и просто скача от едната до другата.
Няма междинна стойност
и не минава през всички тези междинни
и средни стойности.
Можем да начертаем фазова линия,
излиза, че тази функция
има една привличаща фиксирана точка в 6
Стрелките сочат в една и съща посока
към фиксираната точка 6
и ако погледнем тази фазова линия
може да помислим, че точката може да започне тук
и да се приплъзне до 6,
но всъщност, прави скок от 2 до 4, до 5 и т.н.
Затова, може да я нарисуваме така:
ето го скокът, следващият скок,
следващият и т.н.
По принцип не се рисува така, но може би е по-добре графично.
Отново, подчертаваме: При итерираните функции
числото скача от една на друга стойност
без да преминава през междинни стойности
Диференциалните уравнения, които са основна тема в този модул,
са различни, защото анализират ситуация,
при която променливата се променя непрекъснато.
Например, температурата на чаша кафе:
ако температурата започва при 40 градуса, и по-късно е 30 градуса,
можем да сме сигурни, че не е скочила внезапно от 40 до 30,
а е преминала през всички възможни температури между 40 и 30.
Диференциалните уравнения описват непрекъснато променящи се феномени,
а тези итерирани функции описват феномен, който се променя на скоци.
Диференциалните уравнения са тема в математиката,
която обикновено се представя чрез много висша математика.
Все пак в този курс, ще ги опишем със съвсем малко такава,
почти никаква.
Мисля, че този начин на представяне на диференциалните уравнения
всъщност улеснява разбирането на същността им
и какво наистина означават.
Така че, ако не сте изучавали висша математика преди, не се притеснявайте
В следващите подмодули
Ще използвам някои идеи и концепции от висша математика
и ще ги обясня в течение на видеата,
а ако вече сте изучавали диференциални уравнения,
мисля че все пак ще има и много новости за вас в този модул
Техниките, които ще представя
най-вероятно не сте виждали при въведение в диференциалните уравнения
особено, ако са преподавани по традиционния начин.
В следващите няколко подмодула, ще представя диференциални уравнения
и ще ви дам различни идеи за това
как да ги решавате и по-важното
какво означават тези решения.
Ще започнем в следващия подмодул, където ще представя идеята за дериватив.