هناك جانب آخر للتوابع التكرارية
والذي أريد أن أذكره بشكلٍ موجز، أو ذكركم فيه،
وذلك أنّ الزمن منفصل في هذه التوابع التكرارية.
إذاً، نبدأ بالبذرة: x0 تساوي 2.
نستطيع أن نفكر بهذا كقيمة عند الزمن (0).
ثم، هنا، التكرار الأول.
هذا يمكن أن يكون القيمة عند الزمن 1، وهذا 4،
القيمة عند الزمن 2، أو التكرار الثاني، هو 5،
وهكذا.
كما فعلنا من قبل،
يمكننا أن نرسم هذا برسم سلسلة زمنية بيانياً.
ها هنا رسم سلسلة زمنية بياني
للأزمنة 4 أو 5 الأولى التكرارات لهذه الدالة 2،4،5
نستطيع أن نرى القيمة تبدأ عند 2،
تذهب لـ 4، تذهب لـ 5، تماماً كما توقعنا.
الآن، عادةً نرسم خط مابين النقاط،
فقط لأنه يجعله يبدو رسم بياني مقنع أكثر،
إنّه أسهل للقراءة
لكن هذا الخط لا يجب أن يؤخذ حرفياً.
إذاً، القيمة تقفز من 2 إلى 4.
لا تنزلق بين القيم عند 2 و 4.
إذاً، لديها قيمة هنا: لديها قيمة هنا:
وإنّها تقفز من واحدة لأخرى.
لايجب عليها أن تدخل فيما بينهم،
لا يجب عليها أن تعبر كل هؤلاء فيما بينهم
أو القيم المتوسطة.
نستطيع أن نرسم خط مرحلي
إذاً، لقد تبيّن، أنّ هذه الدالة
لديها نقطة ثابتة جاذبة واحدة عند 6.
إذاً، لدينا أسهم قادمة
للنقطة الثابتة عند 6.
وإذا نظرنا للخط المرحلي هذا
ربما نعتقد أنّ هذه النقطة تبدأ هنا،
وأنّها فقط ستنزلق مباشرةً إلى 6،
لكن في الواقع إنّها تقفز، من 2، إلى 4، إلى 5، وهكذا.
إذاً، لعلّ أحد ما يجدر به أن يرسمها كهذا:
ها هنا القفزة الأولى: القفزة التالية:
القفزة التالية: وهكذا.
تقليدياً أحدٌ ما يجب أن لا يرسمها بهذه الطريقة، لكن ربما يكون هذا صورة أفضل.
إذا، مجدداّ، فقط لأؤكد: في هذه التوابع التكرارية،
الرقم يقفز من رقم لآخر،
ولايجب عليه أن يمر من القيم المتوسطة.
المعادلات التفاضلية، والذين هم الموضوع الرئيسي لهذه الوحدة،
مختلفة، من حيث أنّها تحلل الوضع
حيث المتغيّر يتغير باستمرار.
إذاً، كمثال، درجة الحرارة لكوب قهوة:
إذا درجة الحرارة تبدأ عند 40 درجة، وأصبحت بعد فترة صغيرة 30 درجة،
نستطيع أن نكون متأكدين أنّها لم تقفز فوراً من 40 إلى 30،
لكن لا بدّ أنّها مرت خلال كل درجات الحرارة المحتملة بين 40 و 30.
إذاً، المعادلات التفاضلية تصف الظواهر المتغيرة باستمرار،
وهذه التوابع التكرارية تصف الظواهر التي تتغير بالقفز.
المعادلات التفاضلية موضوع في الرياضيات
التي تُقدّم عادةً باستخدام الكثير من حسابات التفاضل والتكامل.
ومع ذلك، في هذه الدورة، سأقدّمها باستخدام حد أدنى ضئيل جداً من حسابات التفاضل والتكامل،
تقريباً بدون حسابات تفاضل وتكامل على الإطلاق.
أعتقد هذه الطريقة في تقديم المعادلات التفاضلية
في الواقع تجعلها أسهل لنفهم ماهي المعادلات التفاضلية
وماذا تعني.
إذاً، إن لم تجرب حسابات التفاضل والتكامل من قبل، لا تقلق.
في الوحدات الفرعية العديدة التالية،
سأستخدم فقط أفكار قليلة ومفاهيم من التفاضل والتكامل
وسأشرحهم على طول الطريق،
وإن كنتم قد درستم المعادلات التفاضلية من قبل،
أعتقد أنّه سيظل الكثير من الأشياء الجديدة في هذه الوحدة لكم.
التقنيات التي سأقدّمها
على الأغلب الكثير منكم لم تروها في دروس المعادلات التفاضلية التمهيدية
خصوصاً إن تمّ تعليمها بأسلوب تقليدي.
إذاً، في الوحدات الفرعية العديدة التالية، سأقدّم المعادلات التفاضلية
وسأعطيكم عدة طرق مختلفة للتفكير
كيف توجدوا الحل، والأهم
ماذا تعني هذه الحلول.
سنبدأ بالوحدة الفرعية التالية، حيث سأقدّم فكرة المشتق.