В заключение первого модуля, я бы хотел провести обзор того, что было сделано.
Основной темой этого модуля были итерированные функции.
Я начну с того, что представлю (или напомню) вам функции. Функция - это правило, которое принимает число на входе и затем даёт число на выходе.
Я рекомендую вам думать о функции как о преобразовании.
Функция - это нечто, что производит действие с числом и возвращает новое число.
Вот стандартная картинка, иллюстрирующая это: x - ввод; что-то происходит внутри коробки
- это преобразование называется функцией f, и она возвращает новое число называемое f(x), x, после того, как f произвела над ним действие.
Функции, которые мы будем изучать - детерминированные, т.е. результат зависит только от того, что на входе,
и если вы примените функцию к одному и тому же вводу несколько раз, вы каждый раз получите один и тот же результат.
Затем мы изучали итерированные функции. Мы итерируем функцию превращая её в цикл:
берём статическую ситуацию, функцию, и делаем её динамической замыкая на себе.
Мы начинаем с какого-то числа, применяем к нему f, получаем новое число, затем используем его в качестве ввода, применяем f снова и так далее.
Итерированная функция - это пример динамической системы, системы, которая эволюционирует со временем в соответствии с определённым неизменным правилом.
Мы итерируем функцию, применяя её снова и снова к числу - это повторяющийся процесс.
Число, с которого мы начинаем известно как посев, или начальное условие, и обычно обозначается x0.
Когда вы итерируете функцию, вы получаете последовательность чисел, и эта последовательность называется маршрутом или орбитой.
Также её иногда называют временным рядом или траекторией.
Отдельные итеранты обозначаются как x_t, где t - момент времени.
Например, x5 будет пятым итерантом.
Удобным способом визуализировать маршрут является график временного ряда.
Вот временной ряд, я построил этот маршрут и мы можем видеть, что функция растёт,
и затем приближается к тому, что оказывается неподвижной точкой в районе 4.3.
Неподвижная точка функции это число, которое не изменяется при действии функции на него.
К примеру, 1 это неподвижная точка функции f(x) = x^2, т.к. f(1) = 1, 1 в квадрате это 1.
Обобщая, x - неподвижная точка, если f(x) = x
если вы подаете x на вход функции и то, что получается на выходе - это то же самое, что было на входе.
Есть разные типы неподвижных точек: стабильные и нестабильные.
Неподвижные точка является стабильной, если окружающие точки по мере итерации приближаются к ней.
Стабильная неподвижная точка также называется притягивающей или аттрактором.
Неподвижная точка нестабильна, если близлежащие точки двигаются от неё по мере итерации.
Неподвижная точка также называется отталкивающей неподвижной точкой или репеллером.
Стабильность неподвижных точек может быть резюмирована вот этими картинками.
Вот здесь - стабильная, притягивающая неподвижная точка
- и тут показано, что соседние точки двигаются по направлению к ней. Это аттрактор.
И здесь нестабильная неподвижная точка, вот она, соседние орбиты отталкиваются от неё.
Это нестабильная точка, репеллер. Эта картинка поможет нам всё себе представить.
Стабильная неподвижная точка это как шарик на дне чаши: если мы смещаем его в сторону, он возвращается к предыдущему положению.
Нестабильная неподвижная точка это как шарик помещенный на верх сферы.
Если мы чуть-чуть его сместим, он скатится вправо или в влево и не вернется назад, в неподвижную точку.
Обычно, при изучении динамических систем, мы интересуемся стабильным поведением, и вот это - то, что мы чаще всего будем наблюдать.
Нестабильное поведение не продолжается долго.
Фазовая линия позволяет нам видеть поведения при всех начальных условиях сразу.
На фазовой линии, временная информация не включена. Мы может сказать, в каком направлении двигаются орбиты, но не как быстро.
В качестве примера вот фазовая линия квадратной функции. Она показывает, что посевы больше единицы двигаются к бесконечности,
1 - нестабильная неподвижная точка, посевы в итервале (0,1) стремятся к 0, и 0 - стабильная неподвижная точка.
В динамических системах одна из основных задач - классифицировать или охарактеризовать типы поведений которые встречаются в определенном классе динамических систем.
На данный момент мы изучали один тип динамических систем, итерированные функции, и видели следующие типы поведений:
неподвижные точки, стабильные и нестабильные - мы видели, что орбиты могут приближаться к неподвижной точке, притягиваться аттрактором,
и орбиты могут продолжать расти, уходить на бесконечность,
и они также могут стремиться к минус бесконечности, становясь более и более отрицательными, и смещаясь все больше влево по числовой линии.
Но это ещё не конец истории. Скоро мы познакомимся с другими типами поведений.
Итак, к этому моменту, я надеюсь, что итерированные функции казались если не понятными, то по крайней мере простыми и скучными.
Все они предполагают выбор числа и итерации над ним
снова и снова и снова, и наблюдение за тем, что получается.
Это очень простой процесс, но в следующих неделях мы увидим, что этот простой скучный процесс
способен давать удивительные и сложные результаты.
Этим Модуль 1 заканчивается. В качестве напоминания, я рекомендую опробовать эти идеи и методы на практике решая проверочные задания и домашнюю работу.
Если у вас есть какие-либо вопросы по задачам или другим материалам курса,
пожалуйста, публикуйте их на форуме, на сайте курса.
Увидимся на следующей неделе в Модуле 2.