Θα ήθελα να κλείσω αυτήν την πρώτη ενότητα συνοψίζοντας τι έχουμε κάνει ως τώρα.

Το κυρίως θέμα της ενότητας ήταν οι Επαναληπτικές Συναρτήσεις.

Ξεκινώ παρουσιάζοντας ή υπενθυμίζοντας σας τις συναρτήσεις. Η συνάρτηση είναι ένας κανόνας που παίρνει έναν αριθμό ως είσοδο και εξάγει άλλον αριθμό.

Σας παρακίνησα να σκέφτεστε τη συνάρτηση ως μία δράση.

Συνάρτηση είναι κάτι που κάνει κάτι σε έναν αριθμό και επιστρέφει έναν νέο αριθμό.

Εδώ είναι μια κλασική απεικόνιση γι' αυτό: το x είναι η κλασική είσοδος, κάτι συμβαίνει εντός του κουτιού

- η δράση αυτή καλείται f, και παράγει έναν νέο αριθμό που καλείται f του x, το x αφού η f έκανε το"κομμάτι" της.

Οι συναρτήσεις που θα μελετήσουμε είναι ντετερμινιστικές. Αυτό σημαίνει ότι η έξοδος καθορίζεται μόνο από την είσοδο,

καν αν δώσεις την ίδια είσοδο στη συνάρτηση μερικές φορές, θα πάρεις την ίδια έξοδο κάθε φορά.

Έπειτα, μελετήσαμε τις επαναληπτικές συναρτήσεις. Έτσι, επαναλαμβάνουμε μια συνάρτηση μετατρέποντάς τη σε βρόγχο ανάδρασης:

πήραμε μια στατική κατάσταση, μια συνάρτηση, και την κάναμε δυναμική περιέλκοντάς την.

Αρχίζουμε με κάποιο αριθμό, εφαρμόζουμε τη f, παίρνουμε έναν νέο αριθμό, μετά χρησιμοποιούμε αυτόν τον αριθμό ως είσοδο, εφαρμόζουμε την f...

Ήεπαναληπτική συνάρτηση αποτελεί παράδειγμα δυναμικού συστήματος, ενός συστήματος που εξελίσσεται στο χρόνο σύμφωνα με έναν καλώς καθορισμένο σταθερό κανόνα.

Επαναλαμβάνουμε τη συνάρτηση εφαρμόζοντάς την ξανά και ξανά σε έναν αριθμό - είναι επαναλαμβανόμενη διαδικασία.

Ο αριθμός που ξεκινάμε είναι γνωστός ως η φύτρα ή αρχική συνθήκη, και συνήθως γράφεται ως x-μηδέν.

Όταν επαναλαμβάνεις μια συνάρτηση, παίρνεις μια σειρά αριθμών, και η σειρά αυτή καλείται διαδρομή ή τροχιά.

Επίσης συχνά καλείται χρονοσειρά ή τροχιά.

Ξεχωριστά σημεία της διαδρομής γράφονται ως x-t, όπου t είναι το χρονικό βήμα.

Για παράδειγμα, x-5 είναι το πέμπτο σημείο.

Μια χρήσιμη μέθοδος για οπτικοποίηση της τροχιάς είναι με το γράφημα χρονοσειράς.

Εδώ έχουμε μια χρονοσειρά, σχεδιάσα αυτήν την τροχιά και μπορούμε να δούμε ότι η συνάρτηση μεγενθύνεται

και μετά πλησιάζει ένα μάλλον σημείο ισορροπίας γύρω στο 4,3.

Σημείο ισορροπίας μιας συνάρτησης είναι ένας αριθμός που δεν αλλάζει όταν η συνάρτηση δρα σε αυτόν.

Για παράδειγμα, το 1 είναι σημείο ισορροπίας της συνάρτησης f του x ίσον x τετράγωνο, καθώς η f του 1 είναι 1, 1 στο τετράγωνο ίσον 1.

Γενικότερα, το x είναι σημείο ισορροπίας αν f του x ίσον x.

Αν εισάγεις το x στη συνάρτηση και το αποτέλεσμα είναι το ίδιο με αυτό που έβαλες.

Υπάρχουν διαφορετικοί τύποι σημείων ισορροπίας: ευσταθή και ασταθή.

Το σημείο είναι ευσταθές αν γειτονικά σημεία πλησιάζουν το σημείο ισορροπίας όταν τεθούν υπό επανάληψη.

Ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας καλείται επίσης ελκυστικό σημείο ή ελκυστής.

Ένα σημείο ισορροπίας είναι ασταθές αν γειτονικά σημεία απομακρύνονται από αυτό όταν τεθούν υπό επανάληψη.

Ένα ασταθές σημείο καλείται επίσης απωστικό σημείο ή αντελκυστής.

Η ευστάθεια σημείων ισορροπίας μπορεί να συνοπτισθεί γραφικά σε αυτές τις εικόνες.

Εδώ είναι ένα ευσταθές ή ελκυστικό σημείο ισορροπίας - το σημείο είναι αυτή η τελεία στη γραμμή

- και αυτό δείχνει ότι γειτονικά σημεία έλκονται προς αυτό. Είναι ελκυστής.

Εδώ έχουμε ένα ασταθές σημείο ισορροπίας. Εδώ είναι το σημείο, γειτονικές τροχιές απομακρύνονται,

είναι ασταθές ή απωστικό. Η απεικόνιση αυτή μας βοηθά να το κατανοήσουμε.

Το ευσταθές σημείο είναι σας μια μπίλια στον πάτο μιας λεκάνης: αν τη σπρώξουμε προς μια πλευρά, επιστρέφει στην αρχική της θέση.

Το ασταθές σημείο είναι σαν μπίλια που ισορροπεί στην κορυφή μιας μπάλας.

Αν τη σπρώξουμε λίγο, μετακινείται δεξιά ή αριστερά και δεν επιστρέφει στο αρχικό σημείο.

Συνήθως όταν μελετούμε δυναμικά συστήματα, μας ενδιαφέρει η ευσταθής συμπεριφορά, καθώς αυτήν πιο πιθανά θα συναντήσουμε.

Η ασταθής συμπεριφορά δεν διαρκεί πολύ.

Η γραμμή φάσεων μας δείχνει μονομιάς όλη τη συμπεριφορά όλων των αρχικών συνθηκών.

Στη γραμμή φάσεων, η χρονική πληροφορία δεν περιλαμβάνεται. Μπορούμε να πούμε πού πάνε οι τροχιές, αλλά όχι πόσο γρήγορα.

Για παράδειγμα, εδώ είναι η γραμμή φάσεων της συνάρτησης τετραγωνισμού. Η γραμμή αυτή δείχνει ότι φύτρες μεγαλύτερες του 1 τείνουν στο άπειρο.

Το 1 είναι ασταθές σημείο, φύτρες μεταξύ 0 και 1 τείνουν στο 0, και το 0 είναι ευσταθές σημείο.

Στα συναμικά συστήματα, ένας από τους κύριους στόχους είναι να κατηγοριοποιήσουμε τους τύπους συμπεριφοράς που συναντάμε σε συγκεκριμένες κλάσεις δυναμικών συστημάτων.

Προς το παρόν, εξετάσαμε μία κλάση ή τύπο δυναμικού συστήματος, τις επαναληπτικές συναρτήσεις, και είδαμε τα ακόλουθα είδη συμπεριφοράς:

σημεία ισορροπίας, ευσταθή και ασταθή - είδαμε πως τροχιές να πλησιάσουν ένα σημείο ισορροπίας, έλκονται προς έναν ελκυστή,

τροχιές που συνεχίζουν να μεγενθύνονται, τείνοντας στο άπειρο,

και μπορούν επίσης να τείνουν στο μείον άπειρο, να γίνονται περισσότερο και περισσότερο αρνητικές, απομακρυνόμενες προς τα αριστερά της γραμμής αριθμών.

Αλλά αυτό δεν είναι το τέλος της ιστορίας. Θα συναντήσουμε περισσότερα είδη συμπεριφοράς σύντομα.

Σε αυτό το σημείο, ελπίζω πως οι επαναληπτικές συναρτήσεις σας φάνηκαν - αν όχι απλές - τότε σίγουρα απλοϊκές και οπωσδήποτε επαναλαμβανόμενες.

Το μόνο που έχουν οι επαναληπτικές συναρτήσεις είναι να επιλέγουμε έναν αριθμό και να εφαρμόζουμε τη συνάρτηση

ξανά και ξανά και ξανά και... ξανά, και να βλέπουμε τι συμβαίνει.

Είναι πράγματι πολύ απλή διεργασία, αλλά θα δούμε τις ερχόμενες βδομάδες πως αυτή η απλά επαναληπτική διεργασία

μπορεί να παράγει εκπληκτικά σύνθετα αποτελέσματα.

έτσι φτάνουμε στο τέλος της Ενότητας 1. Μια υπενθύμιση: σας παρακινώ να εξασκήσετε τις ιδέες και τις τεχνικές στα quiz και στην εργασία.

Αν έχετε ερωτήσεις για τα quiz ή την εργασία, ή όποια άλλη ύλη των μαθημάτων,

παρακαλώ αναρτήστε τις ερωτήσεις σας στο forum στην ιστοσελίδα.

Τα λέμε την επόμενη εβδομάδα με την Ενότητα 1.