Искам да завърша първия модул с обобщение на работата ни досега. Основната тема на модула са Итерирани Функции. Първо е ваведението или опресняване на знанията за функциите. Функцията е правило, което взима число за вход и връща като изход друго число. Препоръчвам да я разглеждате като действие. Функцията е нещо, което прави нещо на число и връща ново число. Това е стандартната картинка: x е стандартен вход, нещо случващо се в тази кутия. - това действие се нарича f и връща ново число наречено f от x, x след като f си е "свършила работата" Функциите, които ще изучаваме са детерминистични. Т.е. изходът се определя (детерминира) от входа и ако пробвате същия вход на функцията няколко пъти, получавате същия изход всеки път Видяхме итерирани функции. Итерираме функция като я превръщаме в затворен цикъл. взехме статична ситуация, функция, и я направихме динамична като я вкарахме в цикъл Започваме с някакво число, прилагаме f, получаваме ново число и го използваме за вход, прилагаме f отново и т.н. Итерираната функция е пример за динамична система, система която еволюира във времето според определено непроменящо се правило. Итерираме функция като я прилагаме отново и отново върху число - процесът е повтаряем. Стартовото число наричаме семе или начално състояние, обикновено се обозначава с x-0 Когато итерираме функция, се получава серия числа, която наричаме маршрут или орбита. Може да се нарече времева серия или траектория. Отделните итерации се обозначават с x-t, където t е времевия интервал. Например, x-5 ще е петата итерация Полезен начин за визуализация на маршрут е чертеж на времеви серии. Това са времевите серии, начертах този маршрут и виждаме, че функцията нараства и приближава фиксирана точка около 4.3 Фиксирана точка на функция е число, което не се променя, когато функцията му въздейства Например, 1 е фиксирана точка на функцията f(x)=x^2, защото f(1) = 1, 1 на втора степен е 1. По-общо казано, x е фиксирана точка, ако f(x)=x ако входът x на функцията и резулатът са едно и също нещо. Има различни видове фиксирани точки: стабилни и нестабилни. Фиксирана точка е стабилна, ако съседните точки се приближават към нея, когато се итерират Стабилната фиксирана точка се нарича още привличаща фиксирана точка, или атрактор Фиксирана точка е нестабилна, ако съседните точки се отдалечават от нея, когато се итерират. Нестабилната фиксирана точка се нарича още отблъскваща фиксирана точка или репелър Стабилността на фиксирани точки може да се обобщи графично в тези графики Ето стабилна или привличаща фиксирана точка - фиксираната точка е тази тук на линията виждаме, че съседните точки се движат към нея. Тя е атрактор А това е нестабилна фиксирана точка. Ето я фиксираната точка, съседните орбити се отблъскват от нея. Тя е нестабилна или отблъскваща. Тази графика може да ни помогне да си я представим. Стабилната фиксирана точка е като топче на дъното на купа: ако натиснем от някоя страна, се връща на първоначалното си място Нестабилна фиксирана точка е като топче върху по-голяма сфера. Ако го натиснем леко, се премества надясно или наляво и не се завръща към фиксираната точка. Обикновено, при изучаването на динамични системи, се интересуваме от стабилно поведение, понеже е по-обичайно. Нестабилното не продължава дълго. Фазовата линия ни позволява да видим поведението на всички начални състояния. В нея не е включена информация за времето. Можем да видим в каква посока отиват орбитите, но не и колко бързо. Например, тази фазова линия на функцията за повдигане на втора степен. Тя показва, че семена по-големи от 1 клонят към безкрайност 1 е нестабилна фиксирана точка, семена между 0 и 1 клонят към 0 и 0 е стабилна фиксирана точка. В динамичните системи една от основните цели е да класифицираме типовете поведение у класовете динамични системи Дотук изследвахме един клас или тип динамична система, итерирани функции, и видяхме следните поведения: фиксирани точки, стабилни и нестабилни - видяхме, че орбитите могат да клонят към фиксирана точка, да се притеглят към атрактор орбитите могат да растат, да клонят към безкрайност, да стават все по-големи също така могат да клонят към минус безкрайност, да стават все по-негативни, движейки се все по-наляво по числовата линия Но това не е всичко. Ще се сблъскаме и с други типове поведение скоро. Вече се надявам итерираните функции да изглеждат прости като понятие. Всичко, което итерирани функции включват е число и прилагане на функция към него отново и отново и отново, и наблюдаваме какво се случва като резултат. Процесът е прост, но ще видим в следващите седмици, че този прост повтарящ се процес е способен да произведе изненадващи и комплексни резултати. С това завършваме Модул 1. Препоръчвам ви да упражнявате тези идеи и техники на викторините и домашната работа. При въпроси за викторините или домашната работа, или друго от курса, моля, публикувайте тези въпроси във форума на сайта на курса. Ще се видим в модул 2.