Искам да завърша първия модул с обобщение на работата ни досега.
Основната тема на модула са Итерирани Функции.
Първо е ваведението или опресняване на знанията за функциите. Функцията е правило, което взима число за вход и връща като изход друго число.
Препоръчвам да я разглеждате като действие.
Функцията е нещо, което прави нещо на число и връща ново число.
Това е стандартната картинка: x е стандартен вход, нещо случващо се в тази кутия.
- това действие се нарича f и връща ново число наречено f от x, x след като f си е "свършила работата"
Функциите, които ще изучаваме са детерминистични. Т.е. изходът се определя (детерминира) от входа
и ако пробвате същия вход на функцията няколко пъти, получавате същия изход всеки път
Видяхме итерирани функции. Итерираме функция като я превръщаме в затворен цикъл.
взехме статична ситуация, функция, и я направихме динамична като я вкарахме в цикъл
Започваме с някакво число, прилагаме f, получаваме ново число и го използваме за вход, прилагаме f отново и т.н.
Итерираната функция е пример за динамична система, система която еволюира във времето според определено непроменящо се правило.
Итерираме функция като я прилагаме отново и отново върху число - процесът е повтаряем.
Стартовото число наричаме семе или начално състояние, обикновено се обозначава с x-0
Когато итерираме функция, се получава серия числа, която наричаме маршрут или орбита.
Може да се нарече времева серия или траектория.
Отделните итерации се обозначават с x-t, където t е времевия интервал.
Например, x-5 ще е петата итерация
Полезен начин за визуализация на маршрут е чертеж на времеви серии.
Това са времевите серии, начертах този маршрут и виждаме, че функцията нараства
и приближава фиксирана точка около 4.3
Фиксирана точка на функция е число, което не се променя, когато функцията му въздейства
Например, 1 е фиксирана точка на функцията f(x)=x^2, защото f(1) = 1, 1 на втора степен е 1.
По-общо казано, x е фиксирана точка, ако f(x)=x
ако входът x на функцията и резулатът са едно и също нещо.
Има различни видове фиксирани точки: стабилни и нестабилни.
Фиксирана точка е стабилна, ако съседните точки се приближават към нея, когато се итерират
Стабилната фиксирана точка се нарича още привличаща фиксирана точка, или атрактор
Фиксирана точка е нестабилна, ако съседните точки се отдалечават от нея, когато се итерират.
Нестабилната фиксирана точка се нарича още отблъскваща фиксирана точка или репелър
Стабилността на фиксирани точки може да се обобщи графично в тези графики
Ето стабилна или привличаща фиксирана точка - фиксираната точка е тази тук на линията
виждаме, че съседните точки се движат към нея. Тя е атрактор
А това е нестабилна фиксирана точка. Ето я фиксираната точка, съседните орбити се отблъскват от нея.
Тя е нестабилна или отблъскваща. Тази графика може да ни помогне да си я представим.
Стабилната фиксирана точка е като топче на дъното на купа: ако натиснем от някоя страна, се връща на първоначалното си място
Нестабилна фиксирана точка е като топче върху по-голяма сфера.
Ако го натиснем леко, се премества надясно или наляво и не се завръща към фиксираната точка.
Обикновено, при изучаването на динамични системи, се интересуваме от стабилно поведение, понеже е по-обичайно.
Нестабилното не продължава дълго.
Фазовата линия ни позволява да видим поведението на всички начални състояния.
В нея не е включена информация за времето. Можем да видим в каква посока отиват орбитите, но не и колко бързо.
Например, тази фазова линия на функцията за повдигане на втора степен. Тя показва, че семена по-големи от 1 клонят към безкрайност
1 е нестабилна фиксирана точка, семена между 0 и 1 клонят към 0 и 0 е стабилна фиксирана точка.
В динамичните системи една от основните цели е да класифицираме типовете поведение у класовете динамични системи
Дотук изследвахме един клас или тип динамична система, итерирани функции, и видяхме следните поведения:
фиксирани точки, стабилни и нестабилни - видяхме, че орбитите могат да клонят към фиксирана точка, да се притеглят към атрактор
орбитите могат да растат, да клонят към безкрайност, да стават все по-големи
също така могат да клонят към минус безкрайност, да стават все по-негативни, движейки се все по-наляво по числовата линия
Но това не е всичко. Ще се сблъскаме и с други типове поведение скоро.
Вече се надявам итерираните функции да изглеждат прости като понятие.
Всичко, което итерирани функции включват е число и прилагане на функция към него
отново и отново и отново, и наблюдаваме какво се случва като резултат.
Процесът е прост, но ще видим в следващите седмици, че този прост повтарящ се процес
е способен да произведе изненадващи и комплексни резултати.
С това завършваме Модул 1. Препоръчвам ви да упражнявате тези идеи и техники на викторините и домашната работа.
При въпроси за викторините или домашната работа, или друго от курса,
моля, публикувайте тези въпроси във форума на сайта на курса.
Ще се видим в модул 2.