أود أن أختتم هذه الوحدة الأولى من خلال تلخيص ماذا فعلنا لحد الآن.

الموضوع الرئيسي لهذه الوحدة هو التوابع التكرارية.

ابدأ بتقديم أو تذكيركم بالدوال. 
الدالة هي قاعدة تأخذ رقم كمدخل وثم تننتج رقم آخر

لقد شجعتكم على أن تفكروا بالدالة كتأثير.

الدالة هي شيء ما تفعل شيئاً ما لرقم، وتنتج رقم جديد.

هذه صورة معيارية لذلك:
x هو مدخل معياري، شيءٌ ما يحدث داخل هذه الصندوق

- هذا التأثير يدعى f، وينتج رقم جديد يدعى f لـ x، x بعدما فعلت f تأثيرها

الدوال التي سوف ندرسها هي حتمية. هذا يعني أنّ الناتج محدد فقط بالمدخل،

وإذا وضعت نفس المدخل في الدالة عدة مرات، سوف تحصل على نفس الناتج كل مرة.

ثم، درسنا التوابع التكرارية. 
إذ نكرر الدالة من خلال تحويلها إلى حلقة تغذية راجعة:

أخذنا وضع ساكن، دالة، وجعلناها ديناميكية من خلال تكرارها.

إذاً نبدأ برقمٍ ما، نطبق f له، نحصل على رقم جديد، ثم نستخدم ذلك الرقم كمدخل، نطبق f مجدداً وهكذا.

التابع التكراري هو مثال للنظام الديناميكي، نظام يتطور مع الوقت وفقاً لقاعدة غير متغيرة معرّفة جيداً.

نكرر الدالة من خلال تطبيقها مرة بعد مرة لرقم - إنّها عملية حافلة بالتكرار.

الرقم الذي بدأنا فيه معروف بالبذرة أو الشرط الإبتدائي، 
ويُرمز له عادةً x-لاشيء أو x-صفر.

عندما نكرر دالة، نحصل على تسلسل من الأرقام، وهذا التسلسل يدعى مسار الرحلة أو المدار.

وأحياناً يدعى أيضاً سلسلة زمنية أو مسار.

التكرارات المستقلة بُرمز لها بـ x-t حيث t هو الخطوة الزمنية.

كمثال، x-5 ستكون التكرار الخامس.

طريقة مفيدة لنتصوّر مسار الرحلة هي رسم السلسلة الزمنية البياني.

إذاً هنا السلسلة الزمنية، رسمت مسار الرحلة هذا بيانياً ونستطيع أن نرى أنّ هذه الدالة تزداد

وثم تقترب لما يبدو كنقطة ثابتة حوالي 4.3.

نقطة ثابتة لدالة هي رقم لا يتغير عندما تُحدث الدالة أثراً عليه.

كمثال، 1 هو نقطة ثابتة للدالة f لـ x تساوي x مربع، لأنّ f لـ 1 هي 1، 1 مربع هو 1.

وبشكلٍ أعم، x هي نقطة ثابتة إذا كانت f لـ x تساوي x;

إذا أدخلت x للدالة والذي حصلت عليه صادف بأن يكون نفس الشيء الذي أدخلته.

هناك أنواع مختلفة من النقاط الثابتة: مستقرة وغير مستقرة.

النقطة الثابتة مستقرة، إذا اقتربت النقاط القريبة النقطة الثابتة عندما تتكرر.

نقطة ثابتة مستقرة تدعى أيضاً نقطة ثابتة جاذبة، أو جاذبة.

نفطة ثابتة غير مستقرة، إذا ابتعدت النقاط القريبة عن النقطة الثابتة عندما تتكرر.

نقطة ثابتة غير مستقرة تدعى أيضاً نقطة ثابتة نافرة أو منفّرة.

الاستقرار للنقاط الثابتة يمكن تلخيصه بيانياً في هذه الصور.

إذاً ها هنا نقطة ثابتة مستقرة أو جاذبة - النقطة الثابتة هي هذه النقطة هنا على الخط

- وهذا يُظهر أنّ النقاط القريبة جُذبت باتجاهها. وهذه جاذبة.

وها هنا نقطة ثابتة غير مستقرة. هنا النقطة الثابتة، المدارات القريبة دُفعت بعيداً عنها;

إنّها غر مستقرة أو منفّرة. هذه الصورة تستطيع مساعدتنا لنفكر بها.

نقطة ثابتة مستقرة هي ككرة زجاجية في قاع وعاء: إذا دفعناها لإحدى الجهتين، تعود لموضعها الأصلي.

نقطة ثابتة غير مستقرة هي ككرة زجاجية تجثم على قمة كرة.

إذا دفعناها قليلاً، تتحرك نحو اليمين أو نحو اليسار ولا تعود للنقطة الثابتة.

عادةً عند دراسة الأنظمة الديناميكية،نهتم بالسلوك المستقر، لأنّ هذا هو ما يرجح أن نلاحظه.

السلوك الغير مستقر لا يستمر طويلاً.

الخط المرحلي يدعنا نرى في نفس الوقت السلوك للشروط الإبتدائية.

في خط مرحلي، معلومات الزمن ليست متضمنة. نستطيع أن نعلم بأي اتجاه تذهب المدارات، لكن ليس سرعة ذهابهم.

كمثال، ها هنا الخط المرحلي لدالة التربيع. 
هذا الخط المرحلي يُظهر أنّ البذور أكبر من 1 تتجه نحو اللانهاية.

1 هو نقطة ثابتة غير مستقرة، البذور بين 0 و1 تقترب لـ 0، و0 هو نقطة ثابتة مستقرة.

في الأنظمة الديناميكية، أحد الأهداف الرئيسية هو تصنيف أو وصف أنواع السلوك المُشاهدة في أصناف خاصة للأنظمة الديناميكية.

لحد الآن، لقد درسنا صنف أو نوع واحد للأنظمة الديناميكية، التوابع التكرارية، ولقد رأينا أنواع السلوكيات التالية:

النقاط الثابتة، المستقرة والغير مستقرة على حد سواء - رأينا أنّ المدارات تستطيع أن تقترب لنقطة ثابتة، تُجذب باتجاه جاذب.

المدارات تستطيع أن تستمر بالتوسع، تصبح أوسع وأوسع

وتستطيع أيضاً أن تتجه نحو اللانهاية السلبية، تزداد سلبية وحركة لليسار على المحور.

لكن هذه ليست نهاية الحكاية. سوف نصادف أنواع إضاقية للسلوك قريباً.

إذاً في هذه المرحلة، آمل أنّ التوابع التكرارية بدت - إن لم تكن بسهلة- إذن بسيطة بدون شك وقطعاً حافلة بالتكرار.

كل التوابع التكرارية تشمل اختيار رقم وثم تطبيق دالة على هذا الرقم

مراراً وتكراراً......، ومشاهدة ماذا يحدث.

إنها عملية بسيطة جداّ حقاً، لكن سنرى في الأسابيع المقبلة أنّها هذه العملية الحافلة بالتكرار

قادرة على إنتاج نتائج معقدة ومفاجئة.

إذاً هذا يقودنا لنهاية الوحدة الأولى. أذكركم بأنّني أشجعكم لتمارسوا هذه الأفكار والتقنيات في الاختبارات القصيرة وفي الواجبات.

إن كانت لديكم أيّة أسئلة عن الاختبارات القصيرة أو الواجبات، او أيّة مادة أخرى من مواد الدورة،

أرجوكم انشروا أسئلتكم في المنتدى على موقع الدورة.

أراكم الأسبوع القادم في الوحدة الثانية.