Хочу ещё немного рассказать о разных типах стационарных точек.
Для функции возведения в квадрат мы видели два типа: стабильные и нестабильные.
Вот иллюстрация стабильной стационарной точки...
...а вот - нестабильной.
Стационарная точка обозначена черным, она не меняется при действии функции на нее.
И здесь показано, что соседние точки приближаются к стационарной, следовательно она стабильная.
Здесь мы видим, что соседние точки, когда на них действует функция, удаляются от стационарной точки.
Во-первых, есть другие названия этих типов стационарных точек.
Стабильная называется также "аттрактор".
Она называется аттрактор, потому, что притягивает точки; соседние точки притягиваются к ней; можно также сказать, что это "притягивающая" стационарная точка.
Нестабильная точка называется "репеллер", потому что она отталкивает соседние точки от себя.
Можно было бы сказать, что это отталкивающая стационарная точка.
Есть ещё один способ, более метафорический, проиллюстрировать эти типы стационарных точек.
Для случая стабильной точки вы можете себе представить шарик или мяч на дне чаши.
Если я возьму этот шарик и сдвину немного в сторону, а затем отпущу, он будет кататься туда-сюда и возвращаться в эту точку.
Камень на дне долины, шар в чаше - стабильные ситуации: небольшое возмущение, толчок, не изменят общее поведение в долгосрочной перспективе.
Нестабильная стационарная точка может быть проиллюстрирована противоположной картинкой.
О ней можно думать как о мяче, аккуратно сбалансированном на вершине холма, или о шарике на вершине перевёрнутой чаши.
Он может быть установлен здесь, фиксированно, без движения, но малейший толчок влево-вправо и он скатится в одном из направлений и не вернется назад.
Это то же самое, что показано здесь: точка стационарная, но если мы сместимся немного вправо или влево нас унесет безвозвратно.
Итак, это картинка для стабильной стационарной точки, эта - для нестабильной.
Различие между этими типами точек очень важно.
В реальных системах нельзя ожидать нестабильных стационарных точек, по той простой причине, что долго они не живут.
Малейший толчок в сторону и объект уезжает навсегда.
Таким образом, в реальных системах и в большинстве численных экспериментов мы наблюдаем стабильное поведение.
При попытках понять и классифицировать общее поведение динамических систем
мы будем обращать особое внимание на стабильное поведение, поскольку его мы чаще всего и наблюдаем.