Quiero decir un poco más acerca de los diferentes tipos de puntos fijos.
Para la función cuadrática, vimos dos tipos de puntos fijos: estable e inestable
Aquí hay un punto fijo estable...
...y aquí un punto fijo inestable.
El punto fijo es la manchita negra, no cambia cuando la función actúa en él.
Y esto nos muestra que puntos del entorno se acercan al punto fijo, por lo cual es
estable.
Aquí vemos que puntos próximos, cuando la función actúa en ellos, se alejan más.
Primero, hay otros nombres para estos tipos de puntos fijos.
Un punto fijo estable se llama también "atractor".
Se le llama atractor porque atrae puntos; el entorno es empujado hacia él; puedes
también decir punto fijo atractivo.
Un punto inestable es llamado "repulsor" o repelente, porque repele puntos
cercanos, los expulsa lejos.
También podemos decir que este tipo de punto fijo es repulsivo.
Hay otra manera, algo metafórica, de ilus- trar los diferentes tipos de puntos fijos
Así, un punto fijo estable, puedes pensar en tener una canica o un balón en el fondo
de una olla. Si tomo este balón y lo muevo un poco al lado y lo dejo ir, rodaría de
ida y vuelta y regresaría a este punto. Una roca en un valle, una canica en el
fondo de una olla, es una situación estable: un pequeño cambio, no cambiará
la situación a largo plazo. Un punto fijo inestable puede ilustrarse con la figura
opuesta. Imagina un balón cuidadosamente balanceado en la cima de un cerro,
o una canica en la cima de un balón.
Se puede balancear ahí, puede estar fijo, sin moverse, pero un pequeño empujón
hacia la izquierda o derecha y descenderá en una dirección, y no retornara aquí.
Es la misma cosa que se muestra aquí; este punto es fijo, pero si movemos un poquito
a la derecha o a la izquierda, se irá lejos, sin retorno.
Esta figura es para un punto fijo estable y esta para un punto fijo inestable.
La distinción entre punto fijo estable e inestable es importante.
En sistemas reales, uno no esperaría en- contrar puntos fijos inestables,
por la simple razón que ellos no permanecen por mucho.
Un bache simple, pequeño a la izquierda o derecha y el objeto se va sin retorno.
Así, en sistemas reales y en la mayoría de experimentos numéricos, es el comporta-
miento estable el que vamos a observar.
Cuando tratemos de categorizar y entender la conducta a largo plazo de sistemas
dinámicos, pondremos especial atención
a la conducta estable, ya que ésa es la más probable a observar.