Θα ήθελα να πω λίγα περισσότερα για τους διαφορετικούς τύπους σημείων ισορροπίας.
Για τη συνάρτηση τετραγωνισμού, είδαμε δύο τύπους σημείων ισορροπίας: ευσταθή και ασταθή.
Εδώ είναι μια απεικόνιση ενός ευσταθούς σημείου ισορροπίας...
...και εδώ ενός ασταθούς σημείου.
Το σημείο ισορροπίας είναι η μαύρη τελεία, δεν αλλάζει όταν η συνάρτηση δρα πάνω του.
Και αυτό μας δείχνει ότι γειτονικά σημεία πλησιάζουν το σημείο ισορροπίας, εξού και είναι ευσταθές.
Εδώ βλέπουμε ότι γειτονικά σημεία, όταν η συνάρτηση δρα πάνω τους, απομακρύνονται περισσότερο.
Πρώτον, υπάρχουν και άλλοι όροι για τα σημεία ισορροπίας αυτών των τύπων.
Ένα ευσταθές σημείο καλείται επίσης και "ελκυστής".
Καλείται ελκυστής γιατί έλκει σημεία. Γειτονικά σημεία έλκονται προς αυτό. Μπορούμε επίσης να πούμε ότι είναι ελκυστικό σημείο ισορροπίας.
Ένα ασταθές σημείο καλείται "αντελκυστής", καθώς απωθεί γειτονικά σημεία, τα σπρώχνει μακρύτερα.
Μπορούμε να πούμε επίσης ότι τέτοιου τύπου σημεία ισορροπίας είναι απωθητικά.
Υπάρχει κι άλλος τρόπος, σχεδόν μεταφορικός, για να απεικονίσουμε διαφορετικούς τύπους σημείων ισορροπίας.
Έτσι, ένα ευσταθές σημείο ισορροπίας, μπορείτε να το φανταστείτε σαν να έχετε ένα βόλο ή μια μπάλα στον πάτο μιας λεκάνης.
Έτσι, αν πάρω την μπάλα και τη σπρώξω πάω στο τοίχωμα της λεκάνης και την αφήσω, θα πηγαινοέρχεται μπρος πίσω μέχρι να επιστρέψει σ' αυτό το σημείο.
Ένας βράχος σε μια κοιλάδα, μια μπίλια στον πάτο μιας λεκάνης, είναι σταθερές καταστάσεις: μια μικρή μεταβολή, μια μικρή ώθηση δεν θα αλλάξει την κατάσταση στο βάθος του χρόνου.
Ένα ασταθές σημείο ισορροπίας απεικονίζεται στη διπλανή εικόνα.
Σκεφτείτε μια μπάλα να ισορροπεί προσεκτικά στην κορυφή ενός λόφου, ή μια μπίλια στην κορυφή μιας (αναποδογυρισμένης) μπάλας.
Μπορεί να ισορροπήσει εκεί, μπορεί να είναι σταθερή, να μην κινείται, αλλά μια ελάχιστη ώθηση ε'ιτε προς τα αριστερά είτε προς τα δεξιά και θα κυλήσει προς μια κατεύθυνση, χωρίς να επιστρέψει.
Το ίδιο απεικονίζεται εδώ. Το σημείο αυτό είναι σταθερό, αλλά αν το μετακινήσουμε ελάχιστα δεξιά ή αριστερά, θα οδηγηθούμε μακριά, χωρίς να επιστρέψουμε.
Άρα αυτή είναι η απεικόνιση ενός ευσταθούς σημείου και αυτή ενός ασταθούς.
Η διαφορά μεταξύ ευσταθούς και ασταθούς σημείου ισορροπίας είναι σημαντική.
Σε πραγματικά συστήματα δεν περιμένουμε να συναντήσουμε ασταθή σημεία ισορροπίας, για τον απλό λόγο του ότι δεν παραμένουν υπαρκτά για πολύ καιρό.
Ένα απλό τράνταγμα, ένα ελάχιστο τράνταγμα στα δεξιά ή αριστερά και το αντικείμενο απομακρύνεται χωρίς επιστροφή.
Άρα, σε πραγματικά συστήματα και στα περισσότερα αριθμητικά πειράματα, είναι η ευσταθής συμπεριφορά που θα παρατηρούμε.
Έτσι όταν προσπαθούμε να κατηγοριοποιήσουμε και να καταλάβουμε τη συμπεριφορά μακρού χρόνου δυναμικών συστημάτων,
θα προσέχουμε ειδικά τη συμπεριφορά που είναι ευσταθής, καθώς είναι πιο πιθανή να παρατηρηθεί.