أريد أن أقول أكثر قليلاً عن الأنواع المختلفة للنقاط الثابتة.
بالنسبة لدالة التربيع، رأينا نوعان للنقاط الثابتة: مستقرة وغير مستقرة.
ها هنا توضيح للنقطة الثابتة المستقرة...
وهنا توضيح للنقطة الثابتة غير المستقرة.
النقطة الثابتة هي نقطة سوداء، لا تتغير عندما تُحدث الدالة أثراً عليها.
وهذا يُظهر لنا أنّ النقاط القريبة تقترب من النقطة الثابتة، وبالتالي إنّه مستقرة.
هنا نرى أنّ النقاط القريبة، عندما تُحدث الدالة أثراً عليهم، يبتعدون أكثر.
إذاً أولاً، يوجد بعض الكلمات لهذه الأنواع من النقاط الثابتة.
نقطة ثابتة مستقرة تدعى أضاً "الجاذبة".
تدعى جاذبة، لأنها تجذب نقاط; نقاط قريبة تُسحب باتجاهها; وتستطيع القول أيضاً نقطة غير مستقرة ثابتة جذّابة
تدعى "منفّرة" أو "طاردة"، لأنها تنفر النقاط القريبة، تدفعهم بعيداً.
بإمكاننا أن نقول أيضاً أنّ هذا النوع من النقطة الثابتة مُنفّر.
هناك طريقة أخرى، مجازية بعض الشيء، لتوضيح هذه الأنواع المختلفة من النقاط الثابتة.
إذاً، نقطة ثابتة مستقرة، يكنك أن تفكر فيها نوعاً ما كأنك لديك كرة زجاجية أو كرة ساكنة في قاع الوعاء.
إذاً، إذا أخذت هذه الكرة ودفعتها إلى الجانب قليلاً ثم تركتها، ستدحرج ذهاباً وإياباً وتعود لهذه النقطة.
صخرة في وادي، كرة زجاجية في قاع وعاء، إنّه وضع مستقر: تغيير صغير، دفعة صغيرة لن تغير الوضع على المدى البعيد
نقطة ثابتة غير مستقرة يمكن أن تتوضح بالصورة المعاكسة.
فكّر بكرة متوازنة بشكلٍ حذر على قمة هضبة، أو كرة زجاجية على قمة كرة رأساً على عقب.
يمكن أن تتوازن هنا، يمكن أن تتثبت، لا تتحرك، لكن دفعة صغيرة جداً إمّا لليسار أو لليمين وسوف تتدحرج
إذاً، هذا نفس الشيء الذي يظهر هنا; هذه النقطة ثابتة، لكن إن حركناها قليلاً لليمين أو قليلاً لليسار، سوف نبتعد ولن نعود
إذاًهذه الصورة هي لنقطة ثابتة مستقرة وهذه لنقطة ثابتة غير مستقرة.
التمييز بين النقاط الثابتة المستقرة وغير المستقرة هام.
في الأنظمة الواقعية، لا يتوقع بأن يواجه نقاط ثابتة غير مستقرة، للسبب الأبسط أنّهم لا يبقوا لفترة طويلة
رجّة بسيطة، رجّة صغيرة لليسار أو لليمين والشيء يسقط لا يعود.
إذاً في الأنظمة الواقعية وفي تجارب الأكثر عددية، إنّه السلوك المستقر الذي نلاحظه.
إذاً عندما نحاول أن نصنف ونفهم السلوك طويل المدى للأنظمة الديناميكية،
سنبدي انتباه خاص للسلوك الذي هو مستقر، بما أنّ هذا الذي سنراقبه في الغالب.