Чтобы проиллюстрировать идею стабильности, разберем еще один пример.
Функция g(x) = 1/2x - 4 имеет стационарную точку в -8.
И вы можете это проверить, подставив -8 в эту функцию - на выходе вы получите -8.
Итак, -8 - стационарная. Как бы мы могли определить тип её стабильности?
Стационарная точка стабильна, если соседние с ней точки к ней притягиваются
и нестабильна если отталкиаваются.
Попробуем провести эксперимент с близким начальным условием - но не в точности с самой точкой - и посмотрим что получится.
Я бы выбрал посев -9.
Какое значение следующее? Функция говорит: взять -9...
...-8.5
А следующее? Применим функцию еще раз. Итерация делает одно и тоже каждый раз: взять число, разделить на 2, вычесть 4...
...8.25. Похоже, мы приближаемся к -8.
И еще одно. Каково значение g(-8.25)? Разделить на 2, вычесть 4...
... и, как вы могли догадаться...
Посев, начальное условие -9 приближается к -8.
Это приводит меня к заключению, что точка стабильная. Чтобы знать наверняка, проверим начальное условие с другой стороны от стационарной точки.
Что будет происходить, если мы начнём итерации с -7? Посмотрим. Я могу просто опять сделать это на калькуляторе.
Мы видим, что -7 также приближается к -8. Итак, орбиты, начальные условия, с обоих сторон от точки -8 приближаются к ней.
Я могу приблизительно это построить на графике.
Вот мои оси. -7 приближается к -8
и -9 также приближается к -8.
Если соединить точки, можно увидеть примерно следующее. Оба начальных условия, -7 и -9
вот они, со временем приближаются к -8. И я бы мог также нарисовать фазовую прямую для этого случая.
Вот моя -8, стационарная точка, и соседние точки притягиваются к ней.
Так что мы можем сказать, что -8 - стабильная стационарная точка, - стабильная потому, что стрелки указывают на нее, орбиты притягиваются к ней.
Оказывается, что больше стационарных точек у этой функции нет, конец истории:
любое начальное условие будет притягиваться к -8.