Για να απεικονίσουμε την ιδέα της ευστάθειας, ας κάνουμε άλλο ένα παράδειγμα.

Η συνάρτηση g του x ισούται εν δεύτερο x μείον 4 και έχει σημείο ισορροπίας στο -8.

Και μπορείτε να το επιβεβαιώσετε αν εισάγετε -8 στην συνάρτηση, οπότε παίρνετε πάλι -8.

Ώστε έχει σημείο ισορροπίας στο -8. Πώς μπορούμε να καθορίσουμε την ευστάθειά του;

Έτσι, ένα σημείο ισορροπίας είναι ευσταθές, αν γειτονικά σημεία έλκονται προς αυτό,

και είναι ασταθές αν τα σημεία απομακρύνονται.

Ας κάνουμε ένα πείραμα με μια αρχική συνθήκη κοντά - αλλά όχι ακριβώς πάνω - σ' αυτό το σημείο ισορροπίας και ας δούμε τι συμβαίνει.

Θα επιλέξω τη φύτρα -9.

Ποια είναι η επόμενη τιμή; Η συνάρτηση μου λέει: πάρε -9...

...-8,5.

Ποια η επόμενη τιμή; Απλώς εφαρμόζω τη συνάρτηση. Επανάληψη σημαίνει να κάνω το ίδιο πράγμα ξανά και ξανά: πάρε την τιμή, διαίρεσε δια 2, αφαίρεσε 4...

-8,25. Φαίνεται πως πλησιάζουμε περισσότερο στο -8.

Ας κάνουμε άλλο ένα. Ποια είναι η f.... ή η g, συγγνώμη, του -8,25; Διαίρεσε δια 2, αφαίρεσε 4...

...και, όπως θα το είχατε υποψιασθεί...

Έτσι η φύτρα, η αρχική συνθήκη, -9 πλησιάζει κοντύτερα στο -8.

Αυτο με οδηγεί να πιστέψω ότι είναι ευσταθές. Για να σιγουρευτώ, ας ελέγξω μια αρχική συνθήκη στην άλλη πλευρά του σημείου.

Τι συμβαίνει όταν επαναλαμβάνουμε το -7; Ας δούμε. Μπορώ να το ξανακάνω στον υπολογιστή τσέπης.

Βλέπουμε ότι το -7 επίσης πλησιάζει το -8. Έτσι τροχιές ή αρχικές συνθήκες και στις δυο πλευρές από το σημείο ισορροπίας, -8, έλκονται προς αυτό.

Μπορώ να κάνω ένα γρήγορο σχέδιο σε γράφημα χρονοσειράς.

Οι άξονές μου, το σημείο -7 πλησιάζει το 8,

και το σημείο -9 επίσης πλησιάζει - θα έπρεπε να λέω - στο -8.

Αν ενώσω τις τελείες, θα δω κάτι σαν αυτό. Και οι δύο αρχικές συνθήκες, -7 και -9,

εκεί το -7, το -9, πλησιάζουν το -8 καθώς προχωράει ο χρόνος. Και μπορώ επίσης να σχεδιάσω μια γραμμή φάσεων.

Εδώ είναι το -8 μου, το σημείο ισορροπίας μου, και γειτονικά σημεία έλκονται προς αυτό.

Άρα μπορούμε να πούμε ότι το -8 είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας, ευσταθές καθώς τα διανύσματα μπαίνουν μέσα, οι τροχιές έλκονται προς αυτό.

Καταλήγει ότι για τη συγκεκριμένη συνάρτηση δεν υπάρχουν άλλα σημεία ισορροπίας, έτσι η όλη ιστορία είναι:

κάθε αρχική συνθήκη θα έλκεται προς το -8.