Για να απεικονίσουμε την ιδέα της ευστάθειας, ας κάνουμε άλλο ένα παράδειγμα.
Η συνάρτηση g του x ισούται εν δεύτερο x μείον 4 και έχει σημείο ισορροπίας στο -8.
Και μπορείτε να το επιβεβαιώσετε αν εισάγετε -8 στην συνάρτηση, οπότε παίρνετε πάλι -8.
Ώστε έχει σημείο ισορροπίας στο -8. Πώς μπορούμε να καθορίσουμε την ευστάθειά του;
Έτσι, ένα σημείο ισορροπίας είναι ευσταθές, αν γειτονικά σημεία έλκονται προς αυτό,
και είναι ασταθές αν τα σημεία απομακρύνονται.
Ας κάνουμε ένα πείραμα με μια αρχική συνθήκη κοντά - αλλά όχι ακριβώς πάνω - σ' αυτό το σημείο ισορροπίας και ας δούμε τι συμβαίνει.
Θα επιλέξω τη φύτρα -9.
Ποια είναι η επόμενη τιμή; Η συνάρτηση μου λέει: πάρε -9...
...-8,5.
Ποια η επόμενη τιμή; Απλώς εφαρμόζω τη συνάρτηση. Επανάληψη σημαίνει να κάνω το ίδιο πράγμα ξανά και ξανά: πάρε την τιμή, διαίρεσε δια 2, αφαίρεσε 4...
-8,25. Φαίνεται πως πλησιάζουμε περισσότερο στο -8.
Ας κάνουμε άλλο ένα. Ποια είναι η f.... ή η g, συγγνώμη, του -8,25; Διαίρεσε δια 2, αφαίρεσε 4...
...και, όπως θα το είχατε υποψιασθεί...
Έτσι η φύτρα, η αρχική συνθήκη, -9 πλησιάζει κοντύτερα στο -8.
Αυτο με οδηγεί να πιστέψω ότι είναι ευσταθές. Για να σιγουρευτώ, ας ελέγξω μια αρχική συνθήκη στην άλλη πλευρά του σημείου.
Τι συμβαίνει όταν επαναλαμβάνουμε το -7; Ας δούμε. Μπορώ να το ξανακάνω στον υπολογιστή τσέπης.
Βλέπουμε ότι το -7 επίσης πλησιάζει το -8. Έτσι τροχιές ή αρχικές συνθήκες και στις δυο πλευρές από το σημείο ισορροπίας, -8, έλκονται προς αυτό.
Μπορώ να κάνω ένα γρήγορο σχέδιο σε γράφημα χρονοσειράς.
Οι άξονές μου, το σημείο -7 πλησιάζει το 8,
και το σημείο -9 επίσης πλησιάζει - θα έπρεπε να λέω - στο -8.
Αν ενώσω τις τελείες, θα δω κάτι σαν αυτό. Και οι δύο αρχικές συνθήκες, -7 και -9,
εκεί το -7, το -9, πλησιάζουν το -8 καθώς προχωράει ο χρόνος. Και μπορώ επίσης να σχεδιάσω μια γραμμή φάσεων.
Εδώ είναι το -8 μου, το σημείο ισορροπίας μου, και γειτονικά σημεία έλκονται προς αυτό.
Άρα μπορούμε να πούμε ότι το -8 είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας, ευσταθές καθώς τα διανύσματα μπαίνουν μέσα, οι τροχιές έλκονται προς αυτό.
Καταλήγει ότι για τη συγκεκριμένη συνάρτηση δεν υπάρχουν άλλα σημεία ισορροπίας, έτσι η όλη ιστορία είναι:
κάθε αρχική συνθήκη θα έλκεται προς το -8.