За да илюстрираме идеята за стабилност, нека видим един пример.

Функцията g от x е равна на половин x минус 4 има фиксирана точка в -8

Може да се провери, ако заместим -8 в тази функция, ще получите -8 на изхода.

Следователно има фиксирана точка -8. Как да определим стабилността й.

Фиксирана точка е стабилна, ако съседните точки се дърпат към нея

и нестабилна, ако точките се отблъскват.

Нека направим експеримент с начално състояние наблизо - но не точно - до тази точка и да видим какво се случва

Избирам семето -9

Коя е следващата ми стойност? Функцията ми казва това:

... -8.5

Коя е следващата стойност? Ще вземем функция от това. Итерирането е повторение на едно действие, вземи стойността, раздели на 2, извади 4

... -8.25. Изглежда се приближаваме до -8.

Да видим още един. Какво е ... g от -8.25? Разделяме на 2, изваждаме 4...

... и, както може би предположихте...

Семето, началното състояние -9 се доближава до -8

Това ме кара да вярвам, че е стабилно. За всеки случай, да проверим от другата страна на фиксираната точка.

Какво става ако итерираме -7? Да видим. Мога да го направя на калкулатор.

Виждаме, че -7 също се приближава до -8. Орбитите или началните състояния от двете страни на фиксираната точка -8 се доближават до нея.

Мога да направя много груба скица на това в чертеж на времеви серии.

Това са осите. Точка -7 се приближава до -8

и точка -9 също се приближава до -8

Ако свържа точките, ще видя нещо такова. И двете начални състояния, -7 и -9,

ето го -7, -9, се приближават до -8 с времето. Можа да нарисувам и фазова линия.

Ето го -8, моята фиксирана точка, и близките точки се дърпат към нея.

Затова казваме, че -8 е стабилна фиксирана точка - стабилна, защото стрелките сочат в една посока, орбитите се приближават към нея.

За тази функция се оказва, че няма други фиксирани точки, това е цялата история:

всяко начално състояние ще се приближава към -8.