За да илюстрираме идеята за стабилност, нека видим един пример.
Функцията g от x е равна на половин x минус 4 има фиксирана точка в -8
Може да се провери, ако заместим -8 в тази функция, ще получите -8 на изхода.
Следователно има фиксирана точка -8. Как да определим стабилността й.
Фиксирана точка е стабилна, ако съседните точки се дърпат към нея
и нестабилна, ако точките се отблъскват.
Нека направим експеримент с начално състояние наблизо - но не точно - до тази точка и да видим какво се случва
Избирам семето -9
Коя е следващата ми стойност? Функцията ми казва това:
... -8.5
Коя е следващата стойност? Ще вземем функция от това. Итерирането е повторение на едно действие, вземи стойността, раздели на 2, извади 4
... -8.25. Изглежда се приближаваме до -8.
Да видим още един. Какво е ... g от -8.25? Разделяме на 2, изваждаме 4...
... и, както може би предположихте...
Семето, началното състояние -9 се доближава до -8
Това ме кара да вярвам, че е стабилно. За всеки случай, да проверим от другата страна на фиксираната точка.
Какво става ако итерираме -7? Да видим. Мога да го направя на калкулатор.
Виждаме, че -7 също се приближава до -8. Орбитите или началните състояния от двете страни на фиксираната точка -8 се доближават до нея.
Мога да направя много груба скица на това в чертеж на времеви серии.
Това са осите. Точка -7 се приближава до -8
и точка -9 също се приближава до -8
Ако свържа точките, ще видя нещо такова. И двете начални състояния, -7 и -9,
ето го -7, -9, се приближават до -8 с времето. Можа да нарисувам и фазова линия.
Ето го -8, моята фиксирана точка, и близките точки се дърпат към нея.
Затова казваме, че -8 е стабилна фиксирана точка - стабилна, защото стрелките сочат в една посока, орбитите се приближават към нея.
За тази функция се оказва, че няма други фиксирани точки, това е цялата история:
всяко начално състояние ще се приближава към -8.