有两个数的平方不变，0和1

1的平方还是1

所以f(1)=1

0的平方还是0

所以f(0)=0

这些是迭代中的不动点

不动点就是迭代中不动的点

平方函数有两个不动点0,1

0输入得到0输出

1输入得到1输出

我们可以说动力系统

所有轨道的长期的行为

我们将用几何的构造，称为相线

这是相线，f的平方

我们只关心正的x

在相线中，这是数轴

这是0，画一个固定点

画1，也是固定点

比1大的数

画在右边

如果从0和1之间的数开始

这就是平方函数的相线

它告诉我们长期行为，对任何初始值而言

函数的任何初始值

假如从比1大的数开始

不断往右 越来越大

若从0和1之间开始，就越来越小

逼近0

轨道趋向无穷 或者发散

1是不动点，固定不动

0也是固定点

比较相线和我画的

时间序列

它们含有类似的信息

这是时间序列

两个初始条件

可以画额外的点

不断变大，上升

对于任何初始条件

不断变小，逼近0

这两个图很类似

但是也有不同

时间序列图上

我们可以看到增长的速度

非常快

跑出屏幕外

相线上只能看出方向

不知道速度

我们只知道轨道的移动方向

轨道向这个方向移动

相线告诉我们移动的方向

不是速度

相线以及高维的

相图给出几何的意义

对于函数的动力系统

它完全描述了长期动力行为

对于平方函数而言

我们总结下

相线告诉我们

比1大的种子，会不断增大

0，1之间的会逼近0

1和0是不动点

但他们的类型不同

1是不稳定的

当你离开1

向左或者向右

你不再回来

所以不稳定

就像在山坡顶

一推就往下

但是0是稳定的

离开一点

还是回到0

所以是稳定的