Hay dos números que no cambian cuando son elevados al cuadrado: 0 y 1 1 elevado al cuadrado es 1 por 1, y eso da 1 Entonces, pueden decir que f de 1 es 1 Y cero elevado al cuadrado, es 0 por 0, lo cual definitivamente es 0 Por lo que podemos decir que f de 0 es 0 Entonces estos son puntos fijos, puntos que no cambian cuando son iterados. Por lo que el punto fijo de una función f es un número que no cambia cuando es iterado La función que eleva x al cuadrado tiene dos puntos fijos, 0 y 1 porque 0 al cuadrado es 0, la entrada es igual a la salida y 1 al cuadrado es 1, la entrada, igual a la salida Por lo que ahora estamos listos para determinar la dinámica, el comportamiento a largo plazo de todas las órbitas Haremos esto mediante una representación geométrica, denominada la línea de fase (phase line) Entonces, aquí tenemos la línea de fase para f de x igual a x al cuadrado En este análisis solo me ocuparé de los valores positivos de x Entonces, dibujaré la línea y será una línea numerada Aquí, el punto 0. Lo dibujaré como un punto porque 0 es un punto fijo Y dibujaré 1 como un punto porque también es un punto fijo Cualquier número mayor que 1 se torna cada vez más grande, se mueve a la derecha en esta línea cuando es iterado Y si empezamos con un número entre 0 y 1 se torna más pequeño Entonces, esta es la línea de fase para la función al cuadrado Nos muestra el comportamiento a largo plazo, el destino último, de cualquier condición inicial o cualquier condición inicial positiva para esta función Si empiezo en cualquier lugar mayor que uno se mueve a la derecha para siempre, cada vez más y más grande Si empiezo en cualquier lugar aquí, entre 0 y 1, me muevo a la izquierda y me acerca más y más a 0 Decimos que aquí las órbitas se acercan a 0; las órbitas aquí tienden hacia el infinito o crecen sin límite o divergencia El punto 1 es un punto fijo, se mantiene ahí, por eso es un punto y el 0 es también un punto fijo Entonces, comparemos la línea de fase dibujada aquí con el gráfico de la serie temporal Contienen más o menos la misma información. Aquí, en el gráfico de la serie temporal podemos ver dos condiciones iniciales y podemos graficas más puntos Cualquier condición inicial aquí, se hace más grande, se mueve hacia arriba y cualquier condición aquí, se hace más pequeña acercándose a 0 Por lo que estos dos gráficos presentan cosas similares pero en una forma un tanto distinta Algo para notar es que en el gráfico de la serie temporal podemos ver cuán rápidamente esto se agranda Se agranda bastante rápidamente de hecho este punto estaría completamente fuera de la pantalla En la línea de fase solo sabemos la dirección del movimiento Realmente no conocemos la velocidad Todo lo que sabemos es que las órbitas se mueven en este sentido y estas órbitas en este. La línea de fase nos cuenta acerca de la dirección del movimiento pero no la velocidad Entonces las líneas de fase y su análogo de más dimensiones son representaciones geométricas bastante útiles. para describir la dinámica de una función. Esto describe completamente la dinámica a largo plazo de la función cuadrado para números positivos Finalmente, para resumir, una vez más Las líneas de fase nos cuentan las siguientes cosas: las semillas más grandes que 1 tienden hacia el infinito las semillas entre 0 y 1 se acercan a 0 1 y 0 son puntos fijos pero son distintos tipos de puntos fijos 1 es un punto fijo inestable Inestable porque si estamos en 1 y nos movemos un poco hacia la izquierda o derecha ya no volvemos más, somos empujados fuera de el Por lo que esta es una situación inestable es como ser empujado desde la cima de una colina un pequeño empujón y caeremos en cualquiera de las dos direcciones Por el contrario, podemos decir que 0 es un punto fijo estable Estable debido a que si estamos en 0 y nos movemos un poco a la derecha, somo empujados nuevamente a 0 Por lo que este es un punto fijo estable - es una situación estable