"Η συνάρτηση τετραγωνισμού και σημεία ισορροπίας"

Υπάρχουν δύο αριθμοί που δεν αλλάζουν όταν τετραγωνίζονται: το μηδέν και το ένα.

Ένα στο τετράγωνο ισούται ένα επί ένα, το οποίο κάνει ένα.

Έτσι μπορούμε να πούμε ότι η f του 1 ίσον 1.

Και μηδέν στο τετράγωνο είναι μηδέν επί μηδέν, που κάνει αναμφίβολα μηδέν.

Οπότε μπορούμε να πούμε ότι η f του 0 είναι 0.

Ώστε αυτά είναι σημεία ισορροπίας, σημεία που δεν αλλάζουν όταν τεθούν υπό επανάληψη.

Έτσι, ένα σημείο ισορροπίας της συνάρτησης f είναι ένας αριθμός που δεν αλλάζει όταν η συνάρτηση επαναλαμβάνεται.

Η συνάρτηση τετραγωνισμού έχει δύο σημεία ισορροπίας, το μηδέν και το ένα,

καθώς μηδέν στο τετράγωνο ίσον μηδέν,

η είσοδος ισούται με την έξοδο, και ένα στο τετράγωνο ίσον ένα,

η είσοδος ισούται με την έξοδο.

Πλέον είμαστε έτοιμοι να δούμε τη δυναμική, τη συμπεριφορά σε βάθος χρόνου

όλων των τροχιών μαζί. Θα το επιτύχουμε με τη γεωμετρική κατασκευή που καλείται "Γραμμή Φάσης".

"Η γραμμή φάσης για την f του x ίσον x τετράγωνο"

Εδώ έχουμε τη γραμμή φάσης για την f του x ίσον x τετράγωνο.

Σε αυτήν την ανάλυση θα με απασχολήσουν μόνο θετικές τιμές του x.

Θα σχεδιάσω τη γραμμή μου...

...και πρόκειται για γραμμή αριθμών. Εδώ, στο σημείο μηδέν, θα το σχεδιάσω ως τελεία,

καθώς το μηδέν είναι σημείο ισορροπίας. Θα σχεδιάσω το ένα ως τελεία, καθώς και το ένα είναι σημείο ισορροπίας.

Κάθε αριθμός μεγαλύτερος του ενός,

μεγενθύνεται, κινείται προς τα δεξιά στην γραμμή των αριθμών όταν τεθεί υπό επανάληψη.

Αρχίζοντας από αριθμούς μεταξύ του μηδενός και του ενός, θα γίνονται μικρότεροι.

Ώστε αυτή είναι η γραμμή φάσεων για τη συνάρτηση τετραγωνισμού. Μας λέει τη συμπεριφορά σε βάθος χρόνου,

το "πεπρωμένο" κάθε θετικής αρχικής συνθήκης γι' αυτή τη συνάρτηση.

Αν αρχίσω οπουδήποτε μετά το ένα, θα κινούμαι προς τα δεξιά για πάντα, θα γίνεται μεγαλύτερο και μεγαλύτερο.

Αν αρχίσω εδώ, μεταξύ του ενός και του μηδενός, θα κινούμαι προς τ' αριστερά και θα πλησιάζω όλο και πιο κοντά στο μηδέν.

Λέμε ότι οι τροχιές εδώ προσεγγίζουν το μηδέν.

Οι τροχιές εδώ τείνουν προς το άπειρο, ή μεγενθύνονται χωρίς όριο, ή αποκλίνουν.

Το σημείο ένα είναι σημείο ισορροπίας, μένει σταθερό - γι' αυτό είναι τελεία -

και το σημείο μηδέν είναι σημείο ισορροπίας.

Συγκρίνετε τη γραμμή φάσης με ό,τι έχω σχεδιάσει εδώ με τα γραφήματα χρονοσειρών.

Εμπεριέχουν λίγο-πολύ την ίδια πληροφορία.

Στο γράφημα χρονοσειρών είδαμε ότι οι δύο αυτές αρχικές συνθήκες - και μπορούμε να σχεδιάσουμε κι άλλα σημεία για να δούμε ότι κάθε αρχική συνθήκη

εδώ πάνω μεγενθύνεται, κινείται προς τα πάνω

και κάθε αρχική συνθήκη εδώ συρρικνώνεται και πλησιάζει το μηδέν.

Τα δύο αυτά γραφήματα απεικονίζουν παρόμοια πράγματα με διαφορετικούς τρόπους.

Αξίζει να σημειωθεί ότι στο γράφημα χρονοσειράς μπορούμε να δούμε πόσο γρήγορα μεγενθύνεται - αρκετά γρήγορα για την ακρίβεια:

το σημείο αυτό φεύγει τελείως εκτός της οθόνης.

Στη γραμμή φάσεων ξέρουμε μόνο την κατεύθυνση της κίνησης, δεν ξέρουμε την ταχύτητα, μόνο ότι οι τροχιές κινούνται προς τα εδώ και προς τα εκεί.

Η γραμμή φάσεων μας δείχνει την κατεύθυνση της κίνησης, αλλά όχι την ταχύτητα.

Άρα η γραμμή των φάσεων και οι ανάλογες κατασκευές υψηλότερων διαστάσεων

είναι πολύ χρήσιμες γεωμετρικές κατασκευές που περιγράφουν τη δυναμική συναρτήσεων.

Η συγκεκριμένη περιγράφει τη συμπεριφορά σε βάθος χρόνου της συνάρτησης τετραγωνισμού

για θετικούς αριθμούς.

Συνοψίζοντας άλλη μια φορά:

Η γραμμή φάσεων μας λέει τα ακόλουθα:

Φύτρες μεγαλύτερες του ενός τείνουν στο άπειρο. Φύτρες μεταξύ ενός και μηδενός τείνουν στο μηδέν.

Το ένα και το μηδέν είναι σημεία ισορροπίας.

Αλλά υπάρχουν διαφορετικοί τύποι σημείων ισορροπίας.

Το ένα είναι "ασταθές" σημείο ισορροπίας. Ασταθές γιατί αν είστε στο ένα και μετακινηθείτε ελάχιστα προς τα δεξιά ή αριστερά,

δεν επιστρέφετε, ωθήστε μακριά. Άρα αυτή είναι μια ασταθής κατάσταση, σαν να κάθεστε στην κορυφή του λόφου:

μια μικρή ώθηση και κατρακυλάτε στην πλαγιά σε οποιαδήποτε κατεύθυνση.

Αντίθετα, το μηδέν λέμε ότι είναι "ευσταθές" σημείο ισορροπίας.

Ευσταθές γιατί αν είστε στο μηδέν και μετακινηθείτε ελάχιστα προς τα δεξιά,

ωθήστε πάλι πίσω στο μηδέν. Άρα αυτό είναι ευσταθές σημείο ισορροπίας, μια ευσταθής κατάσταση.