这个单元，我们讲不动点

和稳定性

这是两个重要的概念

贯穿全课程

首先

递归函数是一个

动力系统的例子

这门课程是关于动力系统的

所以这很重要

什么是动力系统

我等等会讲这个

但是现在

我们可以说 动力系统就是一个系统

随着时间演化

按照某种定义

递归函数就是这样

我们得到一个值 不断向前

递归递归

按照一个规则

这就是函数，一个规则

同样的输入就得到同样的输出

规则不改变

每一次做同样的事情

使用一步输出

再次输入

所以，递归函数就是动力系统

在动力系统的研究中

我们特别关心数

在特别的轨道里

我们关心轨道的集合

许多的轨道在一起

更一般的，我们想理解

我们看到不同类型的行为

在动力系统中

这是我们将采用的方法

我们从这一单元开始

我们看不动点

以及稳定性

从一个例子开始

考虑平方函数

F(x)=x^2

我们知道如何计算轨道

从种子开始

选择1.1

平方一下

1.21

再平方 1.46

等等

用不同的种子

得到不同的轨道

选1.2

可以一样来做

不断平方

得到轨道

这就是1.2的轨道

这两个轨道都在变大

当平方一个大于一的数

不断增大

数量会增大

我们看另一个

种子为0.9

写0.9

会怎样

用函数作用

这个初始条件

使得值变小

不断变小，近似0

平方一个0,1之间的数

会不断变小

再试另一个初始条件

另一个

0.8

平方得到轨道

再一次在0,1之间

不断变小

不断接近0

计算轨道

一条特殊的轨道并不难计算

只是一些计算而已

但是，我们来看全局

这个函数在做什么

我们用图的技巧

这对我们有帮助

帮助理解函数

首先看时间序列

4个轨道

1.1, 1.2都是变大

0.9, 0.8都是变小

这是时间序列图

有四个不同的初值

一个钻石

一个方块，一个三角，一个圈

方块是1.2

增长很快

跑出了图

三角是1.1

在增长

0.9在减小

0.8也在减小

这让我们看到

比一大的在增加

比一小的

在减小