Bu ünitede sabit noktalardan
ve kararlılıktan bahsedeceğim.
Kurs boyunca kullanacağımız
iki önemli kavram.
Ama önce, yineli fonksiyonların
dinamik sistemlere
örnek oluşturduğunu söylemeliyim.
Kursumuz da dinamik sistemlerle ilgili.
Yani konu önemli.
Bu yüzden dinamik sistemin ne olduğunu anlatmalıyım.
Buna daha sonra tekrar döneceğim.
Ama şimdilik...
Dinamik sistem, iyi tanımlanmış
ve değişmeyen bir kurala göre
zamanda ilerleyerek gelişen sistemdir.
Yineli fonksiyonlarda da bunu gördük.
Elimizde bir değer, bir sayı var, ilerledikçe
her tekrarda değişiyor.
Bunu iyi tanımlanmış bir kurala göre yapıyor.
O kural da fonksiyon. Güzel, deterministik bir fonksiyon.
Aynı girdi, her seferinde aynı çıktıyı veriyor.
Kural, her yinelemede değişmiyor.
Aynı şeyi tekrar tekrar yapıyoruz.
Bir adımdaki çıktıyı
sonraki adımda girdi olarak kullanıyoruz.
Yani yineli fonksiyonlar dinamik sistemlerdir.
Dinamik sistem araştırmalarında
belli bir yörünge veya güzergâhın
içerdiği sayılarla pek ilgilenmeyiz.
Daha ziyade, aynı anda pek çok yörüngeyle,
yörünge kümeleriyle ilgileniriz.
Daha genel anlamda ise
farklı türlerdeki dinamik sistemlerde ne gibi davranışlarla karşılacağımızı
anlamak isteriz.
Kursta takip edeceğimiz yaklaşım bu
ve bu ünitede sabit noktaları
ve kararlılığı incelerken
bu yaklaşımı kullanacağız.
Bir örnekle başlayalım.
Kare alma fonksiyonunu ele alacağız.
f(x) eşittir x'in karesi.
Bu fonksiyon için yörünge hesaplamayı biliyoruz.
Bir sayıyla, tohumla başlıyoruz.
Bu örnekte 1,1'i seçtim.
Sonraki yinelemeye geçmek için karesini alıyoruz.
1,21.
Bunun da karesi alıp 1,46 buluyoruz.
Böyle gidiyor.
Farklı bir tohum seçebilir
ve farklı bir yörünge elde edebiliriz.
Diyelim 1,1 yerine 1,2 seçtik.
Aynı şeyi yapıyorum.
Tekrar tekrar kare alıyorum
ve yörüngeyi buluyorum.
1,2 için yörünge bu şekilde.
Gördüğünüz gibi iki yörünge de büyüyor.
1'den büyük sayıların karesini aldıkça
sayılar büyüyor.
Yani bu sayılar büyümeye devam edecek.
Başka bir tane deneyelim.
Tohumumuz 0,9 olsun.
Buraya 0,9 yazıyorum.
Ne olacak şimdi?
Fonksiyonu uygulayıp görelim.
Bu başlangıç koşulu için
sayı küçülüyor.
Giderek 0'a yaklaşıyor.
0 ve 1 arasındaki bir sayının karesini alırsanız
sayı büyümez, küçülür.
Başka bir başlangıç koşulu deneyelim.
Başka bir tohum olsun.
0,8'i seçiyorum.
Yörüngeyi bulmak için defalarca karesini alacağım.
0 ve 1 arasındaki bir sayının karesini aldığımız için
yine küçüldü.
Sayının giderek 0'a yaklaştığını görebiliriz.
Yani yörüngeyi, belirli bir tohum için
belirli bir yörüngeyi hesaplamak pek zor değil.
Hesap makinesiyle biraz çalışmak gerekiyor, o kadar.
Ama bize büyük resmi göstermiyor.
Bu fonksiyon ne yapıyor?
Biz de daha iyi görmemize ve fonksiyonu bir bakışta
anlamamıza yardımcı olacak
bazı grafiksel teknikler kullanacağız.
Öncelikle bu dört yörünge için
zaman serisi grafikleri çizeyim.
1,1 ve 1,2 büyüyor.
0,9 ve 0,8 küçülüyor.
İşte bunu yansıtan zaman serisi grafiği.
Dört farklı başlangıç koşulum olduğunu görüyorsunuz.
Bir kare, bir baklava... Pardon...
Bir kare, bir üçgen, bir çember ve bir baklava dilimi.
Kare, yani 1,2 olan.
Gayet hızlı büyüdüğünü görüyoruz.
Grafiğin dışına çıkıyor.
Üçgenler, 1,1.
Büyüyorlar.
Çemberler, 0,9 ve giderek 0'a yaklaşıyorlar.
0,8 de 0'a yaklaşıyor.
Yani grafik bizim
1'den büyük sayıların giderek büyüdüğünü
ve 0'la 1 arasındaki sayıların
giderek 0'a yaklaştığını görmemizi sağlıyor.