В этом разделе я расскажу о стационарных точках
и стабильности.
Это два важных понятия которые мы будем использовать
на протяжении курса.
Но сначала я должен напомнить,
что итерированные функции это пример
динамических систем
и наш курс - о динамических системах.
Так что, это важно.
Стало быть, я должен сказать, что такое динамические системы.
И, я вернусь к этому позднее,
но пока:
динамическая система - это система
которая эволюционирует со временем
в соответствии с определенным, неизменным законом.
И это то, что мы имеем в случае итерированных функций.
У нас есть значение, число, которое изменяется со временем
от итерации к итерации.
В соответствии со строго определенным законом.
- это функция. Хорошая детерминированная функция.
Один и тот же ввод даёт один и тот же вывод каждый раз.
И правило не меняется по мере того, как мы итерируем.
Мы просто делаем одно и то же, снова и снова.
Используя результат на предыдущем шаге как
входное значение на следующем.
Итак, итерированные функции - динамические системы.
При изучении динамических систем
мы зачастую не интересуемся значениями
определенной орбиты или маршрута.
Вместо этого мы рассматриваем совокупности орбит,
множество орбит сразу.
И, вообще говоря, мы бы хотели понимать
какие типы поведений можно увидеть в разных типах
динамических систем.
Этот подход мы и выберем в этом курсе
и начнем мы в этом разделе
с рассмотрения стационарных точек
и стабильности.
Начнем с примера.
Рассмотрим функцию возведения в квадрат.
f(x) = x^2
Мы знаем как вычислить орбиту этой функции.
Просто начинаем с числа, посева.
Здесь я выбрал 1.1
И затем возводим в квадрат, чтобы получить следующее значение.
1.21
Мы возводим его в квадрат и получаем 1.46
И так далее.
Мы могли бы выбрать другой посев.
И получили бы другую орбиту.
Скажем, вместо 1.1, я выбираю 1.2
Я бы сделал то же самое.
В квадрат, снова и снова.
Чтобы получить эту орбиту.
Итак, вот орбита посева 1.2
Заметим, что обе орбиты растут
когда мы возводим в квадрат число большее 1.
Результат увеличивается.
Таким образом, эти значения продолжат расти.
Попробуем еще одно.
Положим, я выбрал посев 0.9
Напишу здесь 0.9
Что тогда будет происходить?
Применим функцию и посмотрим.
Для этого начального условия
значения уменьшаются.
Они приближаются к нулю.
Если вы возводите в квадрат число между 0 и 1
оно становится меньше, а не больше.
Попробуем еще одно начальное условие.
Еще один посев.
Я попробую 0.8
И буду возводить его в квадрат снова и снова, чтобы получить орбиту.
Так, мы опять возводим в квадрат число между 0 и 1,
оно уменьшается.
Здесь видно, что значение все больше приближается к нулю.
Итак, вычисление определённой орбиты
для определённого посева не слишком сложно.
Это просто требует некоторой работы калькулятором.
Но это не позволяет нам составить впечатление об общей картине.
Что эта функция делает?
Тогда мы задействуем графические методы,
которые помогут нам увидеть это лучше
и понять всю функцию целиком.
Сначала, построим графики временных рядов
для этих четырех орбит.
1.1 и 1.2 увеличиваются,
0.9 и 0.8 - уменьшаются.
Вот график который это показывает.
Вы можете видеть, что у меня четыре начальных условия.
Квадратами... ромбами, нет
квадраты, треугольники, куги и ромбы.
Квадратами обозначена орбита 1.2
Мы видим, что она растет довольно быстро.
И уходит за пределы графика.
Треугольниками обозначена орбита 1.1
Она тоже растет.
Круги это орбита 0.9 и они стремятся к нулю.
И затем 0.8 также стремится к нулю.
Это позволяет нам увидеть,
что числа больше 1 будут увеличиваться,
а числа между 0 и 1
мы подозреваем, будут стремиться к нулю.