In dit gedeelte wil ik het hebben over vaste punten
en stabiliteit.
Twee belangrijke begrippen die we gaan gebruiken
in deze cursus.
Maar eerst moet ik vertellen
dat herhalende functies een voorbeeld zijn
van een dynamisch systeem
en de cursus gaat over dynamische systemen.
Dus, dit is belangrijk.
Ik zou dus moeten vertellen wat dynamische systemen zijn.
Ik kom hier later op terug.
Maar, voor nu:
Een dynamisch systeem is een systeem
dat zich ontwikkeld naarmate de tijd verstrijkt
op grond van een duidelijk omschreven en onveranderlijke regel.
En dat gaat op voor herhalende functies.
Dus, we hebben een waarde, een getal, welke vooruit beweegt
en verandert van herhaling op herhaling.
Aan de hand van een duidelijk omschreven regel.
Dat is de functie. Een mooie deterministische functie.
Dezelfde input geeft dezelfde output, telkens weer.
En de regel verandert niet, als we de herhaling toepassen.
We doen alsmaar hetzelfde.
De uitkomst van één stap gebruiken we
als input voor de volgende.
Dus, herhalende functies zijn een dynamisch systeem.
In de studie van dynamische systemen
zijn we meestal niet bijzonder geïnteresseerd in de getallen
van een specifieke omwenteling of route.
In plaats daarvan zijn we geïnteresseerd in een verzameling van omwentelingen,
vele omwentelingen tegelijk.
En meer in het algemeen willen we begrijpen
welke soorten van gedrag we zien in de verschillende typen
dynamische systemen.
Dit is dus de aanpak die we in deze cursus zullen volgen
en we beginnen daarmee in dit gedeelte,
wanneer we kijken naar vaste punten
en stabiliteit.
Laten we beginnen met een voorbeeld.
We kijken naar de kwadraatfunctie.
F(x) = x^2.
We weten hoe we voor deze functie een omwenteling moeten berekenen.
We beginnen gewoon met een getal, het zaad.
In dit geval koos ik 1,1.
En dan nemen we het kwadraat om de volgende herhaling te krijgen.
1,21.
We kwadrateren dat om 1,46 te krijgen.
En zo door.
We kunnen ook een ander zaadgetal nemen.
Dan zouden we een andere omwenteling moeten krijgen.
Laten we zeggen dat we in plaats van 1,1 we nu 1,2 nemen.
Ik doe hetzelfde.
Steeds opnieuw het kwadraat nemen
om de omwenteling te krijgen.
Dan krijgen we hier de omwenteling voor het zaad 1,2.
Let erop dat beide omwentelingen groter worden
wanneer je een getal groter dan 1 kwadrateert.
Het getal wordt hoger,
dus de getallen gaan door met groeien.
Laten we er nog een proberen.
Bijvoorbeeld als ik als zaad 0,9 neem.
Ik zet 0,9 hier neer.
Wat gaat er gebeuren?
Nou, laten we de functie toepassen en kijken.
Bij deze beginvoorwaarde,
wordt het getal kleiner.
Het benadert meer en meer de nul.
Wanneer je een getal tussen 0 en 1 kwadrateert,
wordt het kleiner, niet groter.
Laten we nog één andere beginvoorwaarde nemen.
Nog één ander zaadgetal.
Ik probeer 0,8.
En ik kwadrateer steeds opnieuw om de omwenteling te krijgen.
Nu opnieuw, wanneer we een getal tussen 0 en 1 kwadrateren,
wordt het kleiner.
Hier kunnen we zien dat het getal dichter en dichter naar de nul gaat.
Dus, de omwenteling berekening -
een specifieke omwenteling voor een specifiek zaadgetal - is niet al te moeilijk.
Je hebt er een beetje rekenwerk voor nodig.
Maar het geeft ons nog geen gevoel voor het grote geheel.
Wat doet deze functie?
Dus gaan we enkele grafische technieken gebruiken
om ons te helpen beter te zien
en de functie in één blik beter te begrijpen.
Allereerst ga ik de tijdreeksen in kaart brengen
voor deze vier omwentelingen.
1,1 en 1,2, deze worden groter,
0,9 en 0,8, deze worden kleiner.
Hier is dan de tijdreeks ingetekend.
Je kunt zien dat ik vier beginvoorwaarden heb.
Een vierkant, een ruit - sorry -
een vierkant, een driehoek, een cirkel en een ruit.
Het vierkant is 1,2.
We kunnen die vrij snel zien groeien.
Het gaat van de grafiek af.
De driehoeken zijn 1,1.
Deze groeien.
De cirkels zijn 0,9 en deze gaan dicht naar de nul.
En dan 0,8 gaat ook dicht naar de nul.
Dus dit toont ons aan
dat de getallen groter dan 1 groter en groter worden,
en getallen tussen 0 en 1
gaan vermoedelijk dichter en dichter naar nul.