En esta unidad hablaré de puntos fijos y estabilidad.
Dos conceptos importantes que usaremos durante el curso.
Pero primero debo mencionar que las funciones iteradas
son un ejemplo de sistemas dinámicos.
y el curso es acerca de sistemas dinámicos, esto es importante y debo decir
qué son los sistemas dinámicos, y volveré sobre esto más adelante,
pero por ahora, un sistema dinámico es un sistema que evoluciona hacia adelante
en el tiempo de acuerdo a una regla bien definida que no cambia.
Eso es lo que tenemos con funciones iteradas.
Así que tenemos un valor, un número, que cambia de iteración en iteración de acuerdo
a una regla bien definida, que es la función, una bonita función determinista,
el mismo input da el mismo output siempre
y la regla no cambia mientras iteramos, sólo hacemos lo mismo una y otra vez
usando el output de un paso como el input del siguiente paso.
Así que las funciones iteradas son un sistema dinámico.
En el estudio de sistemas dinámicos, generalmente no estamos interesados en
el número de una particular órbita o itinerario.
En cambio estamos interesados en entender colectividades de órbitas,
muchas órbitas, todas de una vez, y más generalmente nos gustaría entender
qué tipo de comportamiento vemos en diferentes tipos de sistemas dinámicos.
Así que este es el enfoque que tomaremos en este curso y empezaremos en esta unidad
cuando veamos puntos fijos y estabilidad.
Comencemos con un ejemplo. Consideraremos de nuevo la función cuadrática
"f" de "x" es igual a "x" al cuadrado".
Sabemos cómo calcular una órbita para esta función,
sólo empezamos con un número raíz, en este caso escogí 1.1
y luego lo elevamos al cuadrado para obtener el siguiente, 1.21,
elevamos al cuadrado eso para obtener 1.46 y así sucesivamente.
podemos escoger una raíz diferente y obtendríamos una órbita diferente.
Digamos que en vez de 1.1 hubiese elegido 1.2
haría lo mismo, elevar al cuadrado una y otra vez para obtener la órbita
aquí está la órbita para la raíz 1.2. Noten que ambas órbitas se hacen
más grandes. Cuando elevas al cuadrado un númeor mayor que 1,
el número va aumentando, asi que estos números seguirán creciendo.
Intentemos otra. Supongan que elegí una raíz de 0.9.
Pongo 0.9 aquí y qué pasaría. Bueno, apliquemos la función y veamos.
Para esta condición inicial el número se va haciendo más pequeño,
se está acercando más y más a 0.
si elevan al cuadrado un número entre 0 y 1, se va haciendo menor y no mayor.
Intentemos una condición inicial más, una raíz más.
Intentare 0.8 y lo elevaré al cuadrado para obtener la órbita.
Nuevamente si elevamos un número entre
0 y 1 se va haciendo más pequeño.
Aquí vemos que el número se va acercando más y más a 0.
Así que calcular una órbita particular para una raíz particular
no es muy difícil, sólo requiere un poco de trabajo con la calculadora,
pero no nos permite obtener una idea de la imagen global
de qué es lo que hace esta función.
Usaremos algunas técnicas gráficas que nos ayudarán a ver esto mejor y
entender toda la función de una vez.
Primero dejenme trazar el esquema de la serie temporal para estas cuatro órbitas.
1.1 y 1.2 se hacen más grande, y 0.9 y 0.8 van decreciendo.
Aquí está el gráfico de la serie temporal de esto.
Pueden ver que tengo cuatro condiciones iniciales distintas,
un cuadrado, un triángulo, un círculo y un diamante,
el cuadrado es 1.2, y podemos verlo crecer bastante rápido y se va del gráfico.
Los triángulos son 1.1, que crecen. Los círculos son 0.9 y van acercándose a 0,
y el 0.8 también se va acercando a 0.
Esto nos permite ver que los números mayores a 1 se irán incrementando,
y números entre 0 y 1 - sospechamos - irán acercándose a 0.