En esta unidad, hablaré acerca de los puntos fijos y la estabilidad dos conceptos importantes que utilizaremos durante el curso pero primero debo mencionar que las funciones iteradas son ejemplos de sistemas dinámicos y el curso es acerca de sistemas dinámicos, por lo que esto es importante por lo que diremos qué es un sistema dinámico y volveré sobre esto nuevamente pero, por ahora, los sistemas dinámicos son sistemas que evolucionan en el tiempo de acuerdo a una regla bien definida que no cambia Eso es lo que tenemos con las funciones iteradas, un número que se mueve, cambia de iteración a iteración de acuerdo a una regla bien definida, la función, una función determinista donde la misma entrada da la misma salida cada vez, y la regla no cambia a medida que iteramos o hacemos una y otra vez lo mismo usando la salida de un paso como entrada del siguiente, entonces, las funciones iteradas son sistemas dinámicos. En el estudio de los sistemas dinámicos, a veces no estamos particularmente interesados en los números de una órbita o itinerario particular, sino en en entender conjuntos de órbitas muchas órbitas de una vez y generalmente queremos entender qué tipo de comportamientos observamos en diferentes tipos de sistemas dinámicos Este es el acercamiento que haremos en este curso y empezaremos en esta unidad con los puntos fijos y la estabilidad Empecemos con un ejemplo Utilizaremos otra vez la función al cuadrado: f(x) = x^2 Sabemos cómo calcular una órbita para esta función Empezamos con el número de la semilla, en este caso elegí 1,1 elevamos al cuadrado hacia el siguiente iterado, 1,21 lo elevamos y obtenemos 1,46 y así sucesivamente. Podemos elegir una semilla distinta Y... obtendremos una órbita distinta En vez de elegir, 1,1, eligiré 1,2. Haré lo mismo, elevaré al cuadrado una y otra vez para obtener una órbita. Aquí, tenemos la órbita para la semilla 1,2 Notemos que las dos órbitas van creciendo, cuando elevamos al cuadrado un número más grande, el resultado es que crece por lo que estos números continuarán creciendo Probemos, con otro, supongamos que elijo la semilla 0,9 Pongo aquí 0,9 ¿Qué pasará? apliquemos la función Para esta condición inicial, el número se hace más chico, acercándose más y más a cero Si elevamos al cuadrado un número más pequeño que uno, se va achicando, no agrandando Probemos una condición inicial más, una semilla más Probaré con 0,8 Y la elevaré al cuadrado una y otra vez para obtener la órbita Nuevamente, cuando elevamos un número entre 0 y 1, se achica, podemos ver cómo se acerca más y más a cero Entonces, calculando la órbita, una particular para cada semilla, no es muy difícil Solo requiere un poco de trabajo de calculadora, pero no nos deja observar a grandes rasgos qué es lo que hace la función Entonces, usaré gráficos que nos ayudarán a ver mejor y entender la función de una vez. Primero, grafiquemos la serie temporal Les mostraré la serie temporal para estas cuatro órbitas 1,1; 1,2, se hacen más grandes, 0,9; 0,8 se hacen más chicas. Aquí tenemos el gráfico de la serie temporal para ellos Podemos ver que tenemos cuatro diferentes condiciones iniciales, el cuadrado, el diamante El cuadrado, el triángulo, el círculo y el diamante El cuadrado es 1,2, podemos verlo crecer rápido saliendo del gráfico el triángulo es 1,1, crece el círculo es 0,9 y se va acercando a cero y 0,8 también lo hace Entonces, esto nos deja ver que los números mayores a 1 se hacen cada vez más grandes y los números entre 0 y 1 se acercan más y más a 0