En esta unidad, hablaré acerca de los puntos fijos y la estabilidad
dos conceptos importantes que utilizaremos durante el curso
pero primero debo mencionar que las funciones iteradas son ejemplos de sistemas dinámicos
y el curso es acerca de sistemas dinámicos, por lo que esto es importante
por lo que diremos qué es un sistema dinámico y volveré sobre esto nuevamente
pero, por ahora, los sistemas dinámicos son sistemas que evolucionan en el tiempo
de acuerdo a una regla bien definida que no cambia
Eso es lo que tenemos con las funciones iteradas, un número que se mueve, cambia de iteración a iteración
de acuerdo a una regla bien definida, la función, una función determinista
donde la misma entrada da la misma salida cada vez, y la regla no cambia
a medida que iteramos o hacemos una y otra vez lo mismo
usando la salida de un paso como entrada del siguiente, entonces, las funciones iteradas son sistemas dinámicos.
En el estudio de los sistemas dinámicos, a veces no estamos particularmente interesados
en los números de una órbita o itinerario particular, sino en en entender conjuntos de órbitas
muchas órbitas de una vez y generalmente queremos entender
qué tipo de comportamientos observamos en diferentes tipos de sistemas dinámicos
Este es el acercamiento que haremos en este curso
y empezaremos en esta unidad con los puntos fijos y la estabilidad
Empecemos con un ejemplo
Utilizaremos otra vez la función al cuadrado: f(x) = x^2
Sabemos cómo calcular una órbita para esta función
Empezamos con el número de la semilla, en este caso elegí 1,1
elevamos al cuadrado hacia el siguiente iterado, 1,21
lo elevamos y obtenemos 1,46 y así sucesivamente.
Podemos elegir una semilla distinta
Y... obtendremos una órbita distinta
En vez de elegir, 1,1, eligiré 1,2. Haré lo mismo, elevaré al cuadrado una y otra vez
para obtener una órbita.
Aquí, tenemos la órbita para la semilla 1,2
Notemos que las dos órbitas van creciendo,
cuando elevamos al cuadrado un número más grande, el resultado es que crece
por lo que estos números continuarán creciendo
Probemos, con otro, supongamos que elijo la semilla 0,9
Pongo aquí 0,9
¿Qué pasará? apliquemos la función
Para esta condición inicial, el número se hace más chico, acercándose más y más a cero
Si elevamos al cuadrado un número más pequeño que uno, se va achicando, no agrandando
Probemos una condición inicial más, una semilla más
Probaré con 0,8
Y la elevaré al cuadrado una y otra vez para obtener la órbita
Nuevamente, cuando elevamos un número entre 0 y 1, se achica, podemos ver cómo
se acerca más y más a cero
Entonces, calculando la órbita, una particular para cada semilla, no es muy difícil
Solo requiere un poco de trabajo de calculadora, pero no nos deja observar a grandes rasgos
qué es lo que hace la función
Entonces, usaré gráficos que nos ayudarán a ver mejor y entender
la función de una vez. Primero, grafiquemos la serie temporal
Les mostraré la serie temporal para estas cuatro órbitas
1,1; 1,2, se hacen más grandes, 0,9; 0,8 se hacen más chicas.
Aquí tenemos el gráfico de la serie temporal para ellos
Podemos ver que tenemos cuatro diferentes condiciones iniciales, el cuadrado, el diamante
El cuadrado, el triángulo, el círculo y el diamante
El cuadrado es 1,2, podemos verlo crecer rápido saliendo del gráfico
el triángulo es 1,1, crece
el círculo es 0,9 y se va acercando a cero y 0,8 también lo hace
Entonces, esto nos deja ver que los números mayores a 1 se hacen cada vez más grandes
y los números entre 0 y 1 se acercan más y más a 0