Σε αυτήν την ενότητα, θα μιλήσω για τα Σημεία Ισορροπίας και την Ευστάθεια,

δύο σημαντικές έννοιες που θα χρησιμοποιήσουμε στα μαθήματα.

Αλλα πρώτα πρέπει να σημειώσω ότι οι Επαναληπτικές Συναρτήσεις αποτελούν παράδειγμα των Δυναμικών Συστημάτων,

και τα μαθήματά είναι πάνω στα Δυναμικά Συστήματα, άρα είναι σημαντικό και θα πρέπει να πω

τι είναι τα Δυναμικά Συστήματα. Θα επιστρέψω σε αυτό ξανά, αλλά προς το παρόν:

Δυναμικό Σύστημα καλείται ένα σύστημα που εξελίσσεται στο χρόνο σύμφωνα με έναν καλά ορισμένο και σταθερό κανόνα.

Και αυτό ακριβώς έχουμε με τις Επαναληπτικές Συναρτήσεις.

Έτσι, έχουμε μια τιμή, έναν αριθμό, που εξελίσσεται, που αλλάζει από επανάληψη σε επανάληψη

σύμφωνα με έναν καλά ορισμένο κανόνα: τη συνάρτηση, τη ντετερμινιστική συνάρτηση

όπου η ίδια είσοδος δίνει την ίδια έξοδο κάθε φορά και ο κανόνας δεν αλλάζει καθώς επαναλαμβάνουμε.

Απλά κάνουμε το ίδιο πράγμα, ξανά και ξανά, χρησιμοποιώντας την έξοδο ενός βήματος

ως είσοδο του επόμενου. Έτσι, οι Επαναληπτικές Συναρτήσεις είναι Δυναμικά Συστήματα.

Στη μελέτη των Δυναμικών Συστημάτων, συχνά δεν μας ενδιαφέρουν ιδιαίτερα οι τιμές

κάποιας συγκεκριμένης τροχιάς ή διαδρομής.

Απεναντίας, μας ενδιαφέρει η κατανόηση συνόλων τροχιών, πολλών τροχιών την ίδια στιγμή.

Πιο γενικά, μας ενδιαφέρει τι είδους συμπεριφορά συναντούμε σε τύπους δυναμικών συστημάτων.

Αυτήν την προσέγγιση θα ακολουθήσουμε στα μαθήματά μας.

Και θα αρχίσουμε σ' αυτήν την ενότητα, όπου θα εξετάσουμε τα Σημεία Ισορροπίας και την Ευστάθεια.

Ας αρχίσουμε με ένα παράδειγμα.

Θα εξετάσουμε και πάλι τη συνάρτηση τετραγωνισμού, f του x ίσον x στο τετράγωνο.

Ξέρουμε πώς να υπολογίσουμε μια τροχιά αυτής της συνάρτησης.

Αρχίζουμε απλά με έναν αριθμό ως φύτρα, εδώ επέλεξα το 1,1, και τον τετραγωνίζουμε για να πάρουμε την επόμενη επανάληψη, 1,21.

Το τετραγωνίζουμε για να πάρουμε 1,46 και ούτω καθ' εξής.

Μπορούμε να επιλέξουμε διαφορετική φύτρα

και θα πάρουμε μια άλλη τροχιά.

Ας πούμε ότι αντί του 1,1 επιλέγω το 1,2.

Κάνω το ίδιο πράγμα, τετραγωνίζω ξανά και ξανά

για να πάρω την τροχιά.

Ιδού η τροχιά για τη φύτρα 1,2. Παρατηρείστε ότι και οι δύο τροχειές μεγενθύνονται.

Όταν τετραγωνίζουμε έναν αριθμό μεγαλύτερο του ενός, ο αριθμός μεγενθύνεται. Άρα οι αριθμοί αυτοί θα συνεχίσουν να μεγενθύνονται.

Ας δοκιμάσουμε άλλον ένα. Ας υποθέσουμε ότι επιλέγω ως φύτρα το 0,9.

Βάζω εδώ το 0,9. Τι θα συμβεί;

Ας εφαρμόσουμε τη συνάρτηση και θα δούμε.

Γι' αυτήν την αρχική συνθήκη, οι αριθμοί γίνονται μικρότεροι, πλησιάζουν σταδιακά το μηδέν.

Αν τετραγωνίσουμε έναν αριθμό μεταξύ του μηδενός και του ενός γίνεται μικρότερος και όχι μεγαλύτερος.

Ας δοκιμάσουμε ακόμα μία αρχική συνθήκη, ακόμα μία φύτρα.

Θα δοκιμάσω το 0,8.

Και θα το τετραγωνίσω ξανά και ξανά για να πάρω την τροχιά.

Έτσι και πάλι, όταν τετραγωνίζουμε έναν αριθμό που βρίσκεται μεταξύ του μηδενός και του ενός

ο αριθμός μικραίνει. Εδώ βλέπουμε ότι οι αριθμοί πλησιάζουν όλο και πιο κοντά στο μηδέν.

Ώστε, υπολογίζοντας την τροχιά, μια συγκεκριμένη τροχιά για μια συγκεκριμένη φύτρα,

δεν είναι πολύ δύσκολο, απλά απαιτεί λίγη δουλειά με τον υπολογιστή τσέπης,

αλλά μας δίνει μια αίσθηση της γενικής εικόνας. Τι κάνει αυτή η συνάρτηση;

Θα χρησιμοποιήσουμε γραφικές τεχνικές

για να το δούμε αυτό καλύτερα και να κατανοήσουμε συνολικά τη συνάρτηση.

Πρώτα, ας σχεδιάσω τις χρονοσειρές

για να σας δείξω τις χρονοσειρές για αυτές τις τέσσερις τροχιές.

1,1 και 1,2 μεγενθύνονται - 0,9 και 0,8 συρρικνώνονται. Εδώ έχουμε τις χρονοσειρές.

Βλέπουμε ότι έχουμε τέσσερις διαφορετικές αρχικές συνθήκες,

με σύμβολα το τετράγωνο, το ρόμβο...τετράγωνο, τρίγωνο, κύκλο και ρόμβο.

Το τετράγωνο είναι το 1,2 - μπορούμε να το δούμε να μεγενθύνεται σχετικά γρήγορα, φεύγει εκτός του γραφήματος.

Τα τρίγωνα αντιστοιχούν στο 1,1 και μεγενθύνονται.

Οι κύκλοι είναι 0,9 και πλησιάζουν το μηδέν.

Και τέλος το 0,8 επίσης πλησιάζει το μηδέν.

Έτσι το γράφημα μας επιτρέπει να δούμε ότι τιμές μεγαλύτερες του ενός θα...

θα γίνονται ολοένα μεγαλύτερες, ενώ τιμές μεταξύ του μηδενός και του ενός,

όπως υποψιαζόμαστε, θα πλησιάζουν ολοένα και πιο πολύ στο μηδέν.