في هذه الوحدة، سأتحدث عن النقاط الثابتة
والاستقرار.
مفهومان مهمان سوف نستخدمهم
طوال الدورة.
لكن أولاً، أجدر بي أن أذكر
الدوال التكرارية هي مثال
للأنظمة الديناميكية
والدورة عن الأنظمة الديناميكية.
إذاً، هذا هام.
إذاً يجب أن أقول ماهي الأنظمة الديناميكية.
وسأعود لهذا مرة ثانية.
لكن، للآن:
النظام الديناميكي هو نظام
يتطور نحو الأمام في الوقت
وفقاً لقاعدة غير متغيرة ومعرّفة جيداً.
وهذا ما لدينا للدوال التكرارية.
إذاً، لدينا قيمة، رقم، والذي يتقدم نحو الأمام
يتغير من تكرار إلى تكرار.
وفقاً لقاعدة معرّفة جيداً
هذه هي الدالة. دالة حتمية دقيقة.
نفس المدخل يعطي نفس الناتج كل مرة.
والقاعدة لا تتغير كلما كررنا.
إننا نفعل نفس الشيء مراراً وتكراراً مرة ثانية.
باستخدام الناتج لخطوة واحدة
للمدخل للخطوة التالية
إذاً، الدوال التكرارية هي نظام ديناميكي
في الدراسة للأنظمة الديناميكية،
نحنا غالباً لسنا مهتمين بشكل خاص بالأرقام
لمدار معين أو مسار رحلة.
بدلاً من هذا إننا مهتمين بمجموعات المدارات،
عدة مدارات في نفس الوقت.
وعموماً سنود أن نفهم
ما هو نوع السلوكيات التي نراها في الأنواع المختلفة
للأنظمة الديناميكية؟
إذاً هذا هو المنهج الذي سنأخذه في هذه الدورة
و بالتالي سنبدأ هذا في هذه الوحدة
عندما ننظر للنقاط الثابتة
والاستقرار
دعونا نبدأ بمثال.
سنأخذ بعين الاعتبار دالة التربيع.
F(x) = x^2.
نعرف كيف نحسب مدار لهذه الدالة.
فقط نبدأ بالرقم، البذرة.
في هذه الحالة أختار 1.1.
ومن ثم نربعه لنحصل على المكرر التالي.
1.21.
نربع هذا لنحصل على 1.46.
وهكذا.
نستطيع اختيار بذرة مختلفة.
وسنحصل على مدار مختلف.
دعونا نقول عوضاً عن 1.1، أختار 1.2.
سأفعل نفس الشيء
ربعه مرة بعد مرة.
لنحصل على ذاك المدار.
إذاً ها هو المدار للبذرة 1.2.
لاحظ أنّ كِلا المدارين يتوسع
عندما نربع رقم أكبر من 1.
الرقم يزيد.
إذاً هذه الأرقام سوف تستمر بالتزايد
دعونا نجرب واحد آخر.
أفترض أني اخترت بذرة تساوي 0.9.
سأضع 0.9 هنا.
ماذا سيحدث؟
حسناً دعونا نطبق الدالة ونرى.
لهذا الشرط الابتدائي.
الرقم يصغر.
إنها تقترب أكثر وأكثر للصفر.
إذا ربعت الرقم بين 0 و 1،
إنه يصغر لا يكبر.
دعونا نجرب شرط ابتدائي آخر.
بذرة أخرى.
سأجرب 0.8.
سأربعه مرة بعد مرة لأحصل على المدار.
إذاً مجدداً عندما نربع رقم بين 0 و 1،
إنّه يصغر.
هنا نستطيع رؤية الأرقام تقترب أكثر وأكثر للصفر.
إذاً، حساب المدار
مدار معين لبذرة معينة ليس صعباً جداً.
فقط يتطلب القليل من العمل الحسابي.
لكنه لا يدعنا نحصل على معنى للصورة الكاملة.
ما الذي تفعله هذه الدالة؟
إذاً سنستخدم بعض التقنيات الرسم البيانية
والتي ستساعدنا لنرى هذا بشكلٍ أفضل
ونفهم الدالة في نفس الوقت.
أولاً، دعوني أرسم السلاسل الزمنية بيانياً
للمدارات الأربعة هذه.
1.1 و 1.2 يصبحون أكبر.
0.9 و 0.8 يصبحون أصغر.
إذاً ها هو رسم السلسلة الزمنية بيانياً لهذا.
يمكنكم رؤية أنه لدي أربعة شروط ابتدائية مختلفة.
مربع، معين --عفواً
-- مربع، مثلث، دائرة ومعين.
المربع هو 1.2.
نستطيع رؤية أنه يكبر بسرعة جداً.
إنّه يخرج عن الرسم البياني.
المثلثات هي 1.1
هؤلاء يكبرون.
الدوائر هي 0.9 وهؤلاء يقتربون للصفر.
ومن ثم 0.8 أيضاً تقترب للصفر.
إذاً هذا دعونا نرى
الأرقام الأكبر من 1 ستصبح أكبر وأكبر
والأرقام بين 0 و1
نظن أنّها ستقترب أكثر وأكثر من الصفر.