В процессе анализа итерированной функции чаще всего просто нарисовать маршрут (орбиту).

Я проиллюстрирую это на примере.

Рассмотрим опять функцию утроения: f(x) = 3x

Давайте выясним какой будет орбита для посева x = 2. Ранее мы это уже делали.

2, чтобы получить следующее значение 6. Мы утраиваем 6 чтобы получить 18. Утраиваем 18 и получаем 54. И затем утраиваем 54...

Посмотрим... Это будет 162.

Итак, вот наша орбита. Или маршрут. Я построю это на графике, который относится к типу временных рядов.

Идея в том, чтобы откладывать номер итерации по горизонтальной оси и значение итерации - по вертикальной.

Давайте для начала набросаем оси.

Итак, по этой оси будет время или номер итерации, а по этой оси будет значение итерации, x(t).

Давайте нанесём эти точки.

Моё начальное условие, мой посев это 2. Тогда начальное значение t равно нулю. Я нарисую ближе к началу координат, в районе 2.

Первая итерация даёт 6. Вот почему я поднимаюсь к 6.

На следующей итерации, когда время равно 2, значение равно 18. Это где-то здесь.

Время равно 3, номер итерации 3. Прямо до 54. Наверное где-то тут.

И затем, последний в этой части орбиты, при времени равном 4, четвёртой итерации, я поднимаюсь аж до 162.

Вот график моего временного ряда. И я бы мог соединить точки, что делает поведение более наглядным.

Хотя значения между точками не имеют смысла. Орбита перепрыгивает между 2 и 6, она не принимает промежуточных значений.

Давайте взглянем на более аккуратный вариант этого графика.

Вот он. Это график, который я построил на компьютере. Мы видим, что орбита идёт от 2 к 6, затем к 18, 54 и 162.

То есть я рассматриваю номер итерации как время и значение на этой итерации откладываю по оси y.

Смысл этого... (мы называем это временной ряд, т.к. можно смотреть на ряд чисел как на последовательность которая увеличивается со временем. )

...в том, что он позволяет на видеть, что эта величина растёт очень быстро. Мы конечно, могли это понять глядя на числа, но это, возможно, более убедительный, геометрический вгляд.

График временного ряда очень сильно отличается от самого графика функции.

Этот график отображает орбиту. Он говорит нам, какое значение она имела на первой, второй, третьей итерации и т.д.

График функции - вот график f(x) = 3x, - отображает связь между вводом x и значением f(x).

Рассмотрим ещё пример временного ряда. На этот раз это будет функция возведения в квадрат, f(x) = x^2.

Мой посев, моё начальное условие, будет 1.1. Тогда в момент времени 0, значение 1.1

Какое значение следующее? Это определяется функцией. Мы возводит 1.1 в квадрат. Возьму калькулятор... И я вижу что ответ 1.21

Ok, какой значение следующее? Мы получаем его из функции, в этом случает это означает возведение в квадрат. Итак, 1.21 в квадрате - я получаю 1.46

Какое следующее значение? Это определяется функцией. Я использую 1.46 в качестве ввода, возвожу его в квадрат и получаю 2.14.

И ещё разок. Какое значение следующее? Ну, я беру предыдущее и возвожу в квадрат. То есть я это делаю снова, и снова, и снова.

Я получил 4.59. Итерация повторяется, но в этом весь и смысл. Мы делаем с начальным значением одно и то же снова и снова и смотрим, что получается.

Ok, теперь у нас есть временной ряд. 1.1, 1.21, 1.46, 2.14, 4.59. Это орбита (маршрут).

Построим её график. Вот как это могло бы выглядеть. Я снова использовал компьютер, чтобы получилось немного аккуратнее, чем от руки.

Время отложено здесь внизу, по горизонтальной оси. Когда оно равно нулю, значение чуть больше единицы, так? Мы начали с 1.1

В момент времени 1, первой итерации, оно немного подрастает, 1.21

В момент времени 2, оно около полутора, ага, 1.46.

В момент времени 3, оно чуть больше 2. И потом, в момент времени 4 оно в районе 4.5

Итак, идея графика временного ряда очень простая: вычислить орбиту и затем просто построить полученные значения слева направо.

Это хороший способ увидеть растёт ли орбита, или сжимается или делает что-то ещё.