Cuando analizamos las funciones iterativas, es en ciertos casos más fácil graficar el itineriario u órbita
Se los mostraré con un ejemplo.
Tengamos en cuenta otra vez, la función triplicadora: f(x) = 3x
Resolvamos la órbita para la semilla x igual a 2. Antes hemos hecho esto
2, para obtener el siguiente valor 6. Triplicamos 6 y obtenemos 18, triplicamos 18 y tenemos 54, y luego triplicando 54...
A ver... Es 162
Entonces, tenemos aquí nuestra órbita. El itinerario. Graficaré esto en un tipo de gráfico llamado Gráfico de la serie temporal.
La idea es que grafique el número de iteración en el eje horizontal y el valor iterado en el vertical.
Dibuemos los ejes
Entonces, sobre este eje tengremos el tiempo o número de iteración, y en este eje el valor iterado, x(t).
Bueno, grafiquemos estos puntos.
Mi condición inicial, mi semilla, es dos. Entonces mi valor inicial t es cero. Lo graficaré cerca del origen, cercano a dos.
La primer iteración es seis. Eso explica porque voy hasta arriba cerca de 6.
La siguiente iteración, cuando el tiempo es 2, el valor iterado es 18. Posiblemente aquí arriba.
Cuando el tiempo es tres, el iterado número tres. Arriba hasata 54, por aquí.
Y finalmente, el último que es parte de la órbita, cuando el tiempo es cuatro, la cuarta iteración, aquí bien arriba en 162.
Entonces, este sería mi gráfico de la serie temporal. Puedo luego conectar los puntos, lo cual hace al patrón un poco más evidente.
Aunque los valores en el medio de ellos realmente no tienen ningún significado. La órbita salta de 2 a 6; no se desliza desde 2 a 6 a través de los valores intermedios.
Observemos una versión un poco más agradable de este gráfico.
Aquí está. Entonces, este es un gráfico que hice en la computadora. Podemos ver que la órbita va desde 2 a 6, a 18, a 54 y a 162.
Estoy viendo el número iterado como tiempo, y el valor iterado graficado sobre el eje y.
Entonces, el punto de esto... Esto es llamado un gráfico de la serie temporal, porque, podemos ver la seuencia de números como una serie que avanza en el tiempo.
Nos deja observar bien claramente que este número crece rápidamente. Por supuesto, podemos observarlo simplemente mirando los número, pero esto es quizás más convincente.
Este gráfico de la serie temporal es una gráfico bastante distinto que un gráfico de la función misma.
El de la serie temporal grafica una órbita. Nos cuenta el valor de la órbita en un tiempo dado, el primer iterado, el tiempo dos, el tiempo tres y así sucesivamente.
Un gráfico de la función, aquí tenemos uno de f(x) = 3x, nos dice cómo la entrada x está relacionada a f(x).
hagamos otro ejemplo de una serie temporal. Esta vez, usaremos la función al cuadrado, f(x) = x^2
Mi semilla, mi condición inicial será 1,1. Entonces, a t igual a cero, el valor es 1,1
¿Cuál será el siguiente valor? Bueno, eso está determinado por la función. Elevemos al cuadrado 1,1. Lo haré en la calculadora, y el valor obtenido es 1,21.
Ok, ¿cuál es el siguiente valor? Obtengo el siguiente valor de la función, en este caso significa que elevo al cuadrado el número. Elevo 1,21 y obtengo 1,46
¿El siguiente valor? Bueno, está determinado por la función. Uso 1,46 como la entrada y lo elevo al cuadrado y obtengo 2,14.
Hagamos uno más. ¿Cuál es el siguiente valor? Bueno, tomé el valor anterior y lo elevé al cuadrado. Entonces, estoy simplemente elevando al cuadrado una y otra vez.
Obtengo, 4,59. La iteración es repetitiva, este es el punto. Hacemos los mismo una y otra vez a un valor inicial y vemos qué pasa.
Ok, entonces tenemos ahora una serie temporal: 1,1; 1,21; 1,46; 2,14; 4,59. Esto es una órbita o itinerario.
Hagamos el gráfico de la serie temporal. Si lo hacemos, será parecido a este. Nuevamente use la computadora para hacerlo un poco más lindo de lo que lo habría hecho a mano.
Entonces, el tiempo está aquí debajo, en el eje horizontal. Cuando el tiempo es cero, el valor de la serie temporal es un poco mayor a 1 ¿no es cierto?, empezamos con 1,1
Al tiempo uno, la primera iteración, crece solo un poco: 1,21
Al tiempo dos, está cercano a uno y medio, sí, 1,46
Al tiempo tres, es un poco más grande que 2. Y luego al tiempo 4, cercano a cuatro y medio.
Bueno, la idea detrás de un gráfico de una serie temporal es bastante directa: calcular la órbita y luego simplemente grafica los valores sucesivos de izquierda a derecha.
Es una buena manera de observar si la órbita está creciendo, se está achicando o cualquier otra cosa que haga.