Когато анализираме итерирани функции, най-лесно е да начертаем маршрута или орбитата

Ще го илюстрирам с пример

Да вземем отново утрояващата функция, f(x)=3x

Нека намерим орбитата за семе x=2. Правили сме го преди

2, следващата стойност е 6. Утрояваме 6 до 18. Утрояваме 18 до 54, утрояваме 54...

Това прави 162

Ето я нашата орбита. Маршрутът. Ще го начертая на т.нар. чертеж с времеви серии.

Идеята е да сложа номера на итерацията по хоризонталната ос и итерираната стойност по вертикалната

Рисуваме осите

На тази ос ще бъде времето или номера на итерацията, а на другата - стойността x(t)

Да начертаем точките:

Началното състояние, семето е 2. Първата стойност на t e 0. Ще сложа точката около 2

Първата итерация е 6. Отивам малко по-нагоре, около 6.

Следващата итерация, когато t е 2, стойността е 18. Това е тук горе

Времето t e 3, трета итерация. Чак горе до 54, може би тук

Последната в тази част на орбитата, t = 4, е горе - чак до 162.

Това е чертежът на времеви серии. Мога да свържа точките, за да видим модела.

Стойностите между точките нямат значение. Орбитата скача от 2 на 6, без да минава през междинни стойности

Нека видим по-хубава версия на този чертеж

Ето - направен е на компютър. Виждаме, че орбитата минава от 2 до 6, до 18, до 54, до 162

Виждаме номера на итерацията като време, а стойността е по оста y

Това се нарича чертеж на времеви серии, защото виждаме поредицата от числа като прогресия във времето

От него виждаме, че стойността нараства бързо. Вижда се и от самите числа, но така е може би по-убедително

Чертежът на времевите серии е много различен от графиката на самата функция

Чертежът на времевите серии изобразява орбита. Дава ни стойността на орбитата във време 1, 2 и т.н.

Графика на функция - това е графиката на f(x)=3x. Виждаме как входът x е свързан с f(x)

Нека видим още един пример на чертеж на времеви серии. Ще използваме повдигане на втора степен f(x)=x^2

Началното състояние - избирам 1.1. При t=0 в началото стойността е 1.1.

Коя е следващата стойност? Определя се от функцията. 1.1 на втора степен - отговорът е 1.21

Следващата? Получаваме я от функцията, т.е. повдигаме на втора степен 1.21 и получаваме 1.46

Следващата стойност? Определя се от функцията, 1.46 е входът, на втора степен става 2.14

Още една стойност. Коя е? Взимаме предходната и повдигаме на втора степен. Правим го отново и отново.

Получавам 4.59. Итерацията е повтаряема, но това е смисълът. Правим същото нещо на стартово число, за да видим какво се случва.

Получихме следната серия: 1.1, 1.21, 1.46, 2.14, 4.59. Това е орбитата или маршрутът.

Да направим чертежа. Изглежда така. Отново използвах компютър за да изглежда по-добре.

Времето е тук долу, на хоризонталната ос. Когато то е 0, стойността на серията е малко над 1. Започнахме с 1.1

При време 1, първата итерация, нараства малко до 1.21

При време 2, стойността е около 1 и половина, 1.46

При време 3, малко по-голяма от 2. При време 4, е около 4 и половина.

Идеята зад чертеж на времеви серии е проста - изчисляваме орбитата и чертаем поредните стойности от ляво на дясно.

Има лесен начин да видим дали орбитата расте, намалява или прави нещо друго.