عند تحليل دوال تكرارية، كثيراً ما يكون من الأسهل أن ترسم بيانياً مسار الرحلة أو المدار.
سأوضح هذا بمثال.
تأمل مجدداً الدالة المضاعفة ثلاث مرات، f(x) = 3x.
دعونا نكتشف المدار للبذرة x تساوي اثنان. فعلنا هذا من قبل.
2، لتحصل على القيمة التالية 6. نضاعف 6 ثلاث مرات لنحصل على 18. نضاعف 18 ثلاث مرات لنحصل على 54. ومن ثم نضاعف 54 ثلاث مرات....
دعونا نرى.... هذه مئة واثنان وستون (162).
إذاً هذا هو مدارنا. ها هو مسار الرحلة. سأرسم هذا بيانياً بنوع يدعى رسم مخطط سلسلة زمنية.
الفكرة هي أنّي سأرسم بيانياً الرقم المكرر عل المحور الأفقي والقيمة المكررة على المحور العامودي.
إذاً، دعوني أولاّ أرسم المحاور.
إذاً, على هذا المحور سيكون الزمن أو الرقم المكرر، وعلى هذا المحور ستكون القيمة المكررة، (x(t
إذاً، دعونا نرسم هذه النقاط بيانياً.
حالتي الأولية، بذرني هي اثنان. إذاً قيمتي الأولية t هي صفر. سأرسم بيانياً قريباً للمنشأ حول اثنان.
المكرر الأول هو 6. لذلك سأرتفع هنا حوالي الستة.
المكرر التالي، عنما يكون الزمن اثنان، المكرر هو ثمانية عشر. هذا ربما هنا بالأعلى.
الزمن ثلاثة، الرقم المكرر ثلاث، على طول المسافة وصولاً لأربعة وخمسون. ربما هذا هنا.
ومن ثم، الأخيرة في هذا الجزء من المدار، عنما يكون الزمن أربعة، المكرر الرابع. أناعلى طول المسافة وصولاً لمئة واثنان وستون.
إذاً، هذا سيكون رسمي سلسلة زمنية بيانياً. وباستطاعتي وصل النقاط، والذي سيصنع النمط واضح قليلاً.
بالرغم من أنّ القيم بين النقاط في الواقع لا يملكون معنى. المدار يقفز من 2 إلى 6; لا ينزلق من 2 إلى 6 متقدماً
دعونا نلقي نظرة على نسخة أدق من هذا الرسم البياني.
ها هو. إذاً، هذا رسم بياني تركت الحاسوب يرسمه لي. ونستطيع أن نرى أنّ المدار يمتد من 2 إلى 6، إلى 18، إلى 54، إلى 162
إذاً إنّي أعرض الرقم المكرر كزمن، والقيمة المكررة أرسمها على المحور y.
إذاً، الغاية من هذا... هذا يدعى رسم سلسلة زمنية بيانياً، لأننا نستطيع رؤية تسلسل الأرقام كسلسلة متقدمة بالزمن.
دعونا نرى بوضوح تام أنّ هذا الرقم يتزايد بسرعة. بالطبع، نستطيع أن نرى من خلال النظر للأرقام، لكن هذا أكثر وضوحاً هندسياً
رسم السلسلة الزمانية بيانياً نوع مختلف جداً من الرسم البياني عن الرسم البياني لدالة بحد ذاته.
رسم السلسة الزمنية بيانياً تُرسم على مدار. يخبرنا قيمة المدار في الزمن واحد، المكرر الأول، الزمن اثنان، الزمن ثلاثة، وهكذا.
الرسم البياني لدالة- ها هنا رسم بياني للدالة f(x)=3x تخبرك كيف المدخل x مرتبط بـ (f(x.
دعونا نعمل مثال آخر لرسم السلسة الزمنية البياني. هذه المرة سنستخدم دالة التربيع، f(x)=x^2.
بذرتي، الشرط الابتدائي، سأختار 1.1. إذاً، عند t تساوي صفر مبدئياً، القيمة هي 1.1.
ماهي القيمة التالية؟ حسناً، هذا مُحدد بالدالة. إذاً نربع 1.1. سأفعل هذا على الآلة الحاسبة. وأرى أنّ الجواب هو 1.21
حسناً، ماهي القيمة التالية؟ نحصل على القيمة التالية من الدالة، في هذه الحالة هذا يعني تربيع الرقم. إذاً، نربع 1.21 نحصل على 1.46
ماهي القيمة التالية؟ حسناً، هذا مُحدد بالدالة. أستخدم 1.46 كمدخل،إذاً أربعه وأحصل على 2.14.
دعونا نعمل واحد آخر. ماهي القيمة التالية؟ حسناً، لقد أخذت القيمة السابقة وربعتها. إذاً، أنا فقط أربع مجدداً ومجدداً
أحصل على 4.59. إذاً، التكرار حافل بالتكرار، لكن هذه الغاية نوعاً ما. إننا نفعل نفس الشيء مراراً وتكراراً لرقم البداية ونرى ماذا يحدث
حسناً، إذاً الآن لدينا سلسلة زمنية. 1.1، 1.21، 1.46، 2.14، 4.59. إنه مدار أو مسار رحلة.
دعونا نعمل نعمل رسم سلسلة زمنية بياني. إذاً إذا فعلنا هذا، هكذا ستبدو.. مجدداً استخدمت الحاسوب لصنع واحد أدق بقليل مما يمكن رسمه باليد
إذاً الزمن بالأسفل هنا، على المحور الأفقي. عندما يكون الزمن صفر، قيمة السلسة الزمنية هي أكثر بقليل من واحد، صحيح؟ نبدأ عند 1.1.
عند الزمن واحد، المكرر الأول، يتزايد قليلاً، 1.21.
عند الزمن اثنان، إنها حوالي واحد ونصف، أجل، 1.46.
عند الزمن ثلاثة، إنها أكبر بقليل من 2. وثم عند الزمن أربعة، إنها حوالي أربعة ونصف.
إذاً، الفكرة وراء رسم السلسلة الزمنية البياني هي بسيطة جداً : احسب المدار، وثم فقط ارسم بيانياً النقاط المتعاقبة من اليسار لليمين
هناك طريقة جيدة لرؤية ما إذا كان المدار يتزايد، يتناقص، أو يفعل شيئاً آخر