В этом разделе я расскажу об итерациях.

Итерация это простая идея и она ляжет в основу всего остального курса.

Я введу это понятие через несколько примеров в этом разделе и в следующем. Начнём.

Вот что стоит за понятием итерации.

Как мы видели, функция это преобразование. Она получает на входе x, что-то с ним делает и производит результат называемый f(x).

Чтобы итерировать на функции мы просто зацикливаем этот процесс вот так.

Я беру результат функции и подаю его снова на вход функции. Таким образом я повторно применяю эту функцию, снова и снова, к числу.

Я начинаю с числа и использую вывод функции как последующий ввод. Работаем, мы, скажем, снова с функцией утроения.

f(x) = 3*x. Допустим, я начинаю с числа 2.

Когда я применяю f к 2, я утраиваю его. И получаю 6.

Теперь, что будет если я применю f к 6? Оно утроится, и я получу 18. Итак, я начал с 2, утроил его и получил 6.

Переместил его сюда, это снова будет ввод, я утраиваю его и получаю 18.

Чтобы получить следующее значение мне нужно утроить 18. Может быть, если я не уверен начет своего умножения, имеет смысл сделать это на калькуляторе.

И затем можно и это утроить.

Итак, я применяю f к 2, получаю 6. Применяю f к 6, получаю 18. Применяю f к 18, получаю 54 и так далее.

Рассмотрим ещё один пример.

Допустим, я начну с половины, то есть 0.5, - это будет на входе. Я утраиваю это значение.

0.5 x 3, получаю 1.5. Затем мне нужно утроить это. 1.5 x 3 = 4.5.

Затем мне нужно утроить 4.5. 4.5 x 3 = 13.5. И еще разок. 13.5 x 3 = 40.5

Итак, итерирование функции это просто применение её снова и снова к результатам собственного вывода.

Вероятно, вы уже итерировали функции ранее.

Когда я ходил в школу, у нас не было ноутбуков чтобы развлечься. Не было также сотовых телефонов: смартфонов или примитивных как мой.

Но у нас были калькуляторы. И, возможно, вы играли в такую игру на калькуляторе, когда урок был скучным или нужно было чем-то себя занять.

Возможно, вы просто вводили число и нажимали кнопку функции, снова и снова. Возможно, функцию квадрата.

И если вы начали... я начал с числа 5, в конце концов результат получается слишком большим, переполняет калькулятор и вы чувствуете момент триумфа.

И потом вы пробуете другое число, и нажимаете кнопку снова и снова. И калькулятор переполняется и вы снова чувствуете триумф.

Это, конечно, не самая весёлая из игр, но, знаете, у нас были только калькуляторы. Это было лучшее, что мы могли сделать.

Но фишка в том, что этот акт нажатия кнопки снова и снова: вы вводите число и повторяете функцию, ту что была на этой кнопке.

Начали с 5, это дает 25. К результату этой функции вы применяете эту же функцию снова и т.д.

Это итерация. Так что если вы когда-либо играли в эту игру на калькуляторе, и по моему опыту, так делали многие, так как часто бывает скучно и все что у вас есть чтобы развлечься это калькулятор, - значит, вы уже итерировали функции.

Ладно, продолжим примеры и посмотрим на итерации более пристально и введем некоторую важную терминологию и нотацию.