In quest'unità introdurrò l'iterazione.

L'iterazione è un'idea semplice e formerà la base per il resto del corso.

Introdurrò l'iterazione attraverso una serie di esempi in quest'unità e nella prossima. Cominciamo.

Dunque, questa è l'idea alla base dell'iterazione.

Come abbiamo visto, una funzione è un'azione. Prende un input x, fà qualcosa con esso, la funzione vi agisce e c'è un output chiamato f(x).

Per iterare una funzione, trasformiamo questo processo in un loop.

Prendo l'output di una funzione e lo reinserisco come input. Dunque, sto ripetutamente applicando questa funzione più e più volte ad un numero.

Comincio con un numero e uso l'output della funzione come prossimo input. Dunque, supponiano di lavorare con la funzione triplicatrice.

f(x) = 3x. Supponiamo di partire col numero 2.

Quando applico f a 2 lo triplico, e ottengo sei. Ora, che succede se applico f a 6? Lo triplico e ottengo 18. Dunque sono partito con 2, lo triplico e ottengo sei.

Spostalo qui, diventa l'input, lo triplico di nuovo e ottengo 18.

Per il prossimo avrò bisogno di triplicare 18. Magari se non ci si sente sicuri riguardo la moltiplicazione si può fare su una calcolatrice.

E poi posso triplicare di nuovo.

Quindi sto applicando una funzione f a 2 e ottengo 6. La applico a 6 e ottengo 18. La applico a 18 e ottengo 54, e così via.

Proviamo con un altro esempio.

Supponiamo che cominci con un mezzo, 0.5. Quindi 0.5 sarebbe il mio input. Lo triplico.

0.5 per 3, ottengo 1.5. Poi devo triplicare quello, 4.5.

Poi dovrei triplicare 4.5, 4.5 per 3, 13.5. Facciamolo ancora una volta, 13.5 per 3, fà 40.5.

Dunque, iterare una funzione è semplicemente applicare una funzione più volte usando l'output come prossimo input.

Ci sono buone probabilità che abbiate già iterato una funzione prima d'ora.

Quand'ero a scuola, non avevamo computer ad intrattenerci. Non avevamo cellulari, smartphones o telefoni semplici come il mio.

Ma avevamo calcolatrici. E forse voi avete giocato al gioco seguente con una calcolatrice quando eravate ad una lezione che era magari un po' noiosa, o avevate bisogno di qualcosa da fare.

Magari, avete inserito un numero, e poi premuto un pulsante, un pulsante di funzione, più volte. Magari il pulsante del quadrato.

E se avete cominciato...Io ho cominciato col numero 5, ad un certo punto il numero diventa troppo grande e la calcolatrice va in overflow e sentite un momento di trionfo.

E poi magari provate un altro numero, e premete quel pulsante più volte. E di nuovo manda la calcolatrice in overflow, e sentite di nuovo un momento di trionfo.

Ok, non è un gioco molto divertente, ma sapete, avevamo solo calcolatrici. Era quanto potessimo fare.

Ma il punto è quest'azione di premere un pulsante più e più volte su una calcolatrice, inserite un numero e poi iterate la funzione, qualunque cosa sia su quel pulsante, ancora e ancora.

Partite con 5, dà 25. E l'output di quella funzione, operate con la funzione di nuovo su quello, e così via.

Questa è l'iterazione. Quindi se avete mai giocato a questo gioco su una calcolatrice, e la mia esperienza è che molti l'hanno fatto, perchè spesso siete annoiati e tutto quello che avete per intrattenervi è una calcolatrice, allora avete già iterato funzioni.

Ado ogni modo, continuiamo con alcuni esempi, e vediamo l'iterazione in maggior dettagli, e introduciamo dell'importante terminologia e notazione.