Σε αυτή την ενότητα θα παρουσιάσω την "Επανάληψη" (Iteration).

Η Επανάληψη είναι μια απλή ιδέα και θα αποτελέσει θεμέλιο για τη συνέχεια των μαθημάτων.

Θα παρουσιάσω την Επανάληψη μέσα από μια σειρά παραδειγμάτων σε αυτήν την ενότητα και την επόμενη.

Ας αρχίσουμε!

Αυτή είναι η βασική ιδέα της Επανάληψης.

Όπως είδαμε, η συνάρτηση είναι μια δράση.

Παίρνει μια είσοδο x, κάνει κάτι σ' αυτό (η συνάρτηση δρα πάνω του),

και μας δίνει μια έξοδο (αποτέλεσμα), f του x. Για να επαναλάβουμε μια συνάρτηση,

μετατρέπουμε τη διαδικασία σε βρόγχο, έτσι.

Παίρνω την έξοδο της συνάρτησης και την επανατροφοδοτώ ως είσοδο.

Εφαρμόζω επαναληπτικά την συνάρτηση, ξανά και ξανά, σε έναν αριθμό, αρχίζοντας με τον αριθμό

και χρησιμοποιώ την έξοδο της συνάρτησης ως την επόμενη είσοδο.

Ας πούμε ότι δουλεύουμε πάλι με τη συνάρτηση τριπλασιασμού (f του x ίσον τρία x). Ας υποθέσουμε ότι αρχίζω με τον αριθμό δύο.

Όταν εφαρμόζω την f στο δύο, το τριπλασιάζω.

Και παίρνω έξι.

Τώρα, τι γίνεται αν εφαρμόσω την f στο έξι; Θα το τριπλασιάσω και θα πάρω δεκαοκτώ.

Ώστε αρχίζω με το δύο, το τριπλασιάζω και παίρνω έξι. Το μεταφέρω εδώ, γίνεται πάλι είσοδος, το ξανατριπλασιάζω και παίρνω δεκαοκτώ.

Για το επόμενο, πρέπει να τριπλασιάσω το δεκαοκτώ - ίσως αν δεν εμπιστεύομαι τον πολλαπλασιασμό μου να το κάνω στον υπολογιστή -

και μετά μπορώ να το τριπλασιάσω ξανά...

Έτσι εφαρμόζω τη συνάρτηση f στο δύο, παίρνω έξι,

την εφαρμόζω ξανά στο έξι και παίρνω δεκαοκτώ, την εφαρμόζω στο δεκαοκτώ

και παίρνω πενήντα τέσσερα και ούτω καθ' εξής...

Έναν ακόμα παράδειγμα. Ας υποθέσουμε ότι αρχίζω με μισό, μηδέν κόμμα πέντε.

Έτσι, το μηδέν κόμμα πέντε θα είναι η είσοδός μου, το τριπλασιάζω,

μηδέν κόμμα πέντε επί τρία,

παίρνω ένα κόμμα πέντε.

Έπειτα πρέπει να το τριπλασιάζω ξανά, ένα κόμμα πέντε επί τρία ίσον τέσσερα κόμμα πέντε.

Μετά τριπλασιάζω το τέσσερα κόμμα πέντε, τέσσερα κόμμα πέντε επί τρία ίσον δεκατρία και μισό.

Ας κάνουμε άλλο ένα.

Δεκατρία κόμμα πέντε επί τρία ίσον σαράντα κόμμα πέντε.

Έτσι, επαναλαμβάνοντας μια συνάρτηση σημαίνει να εφαρμόζουμε την συνάρτηση

ξανά και ξανά χρησιμοποιώντας την έξοδο για τη νέα είσοδο.

Είναι πιθανόν να έχετε επαναλάβει συναρτήσεις στο παρελθόν. Όταν ήμουν στο Λύκειο,

δεν είχαμε laptops για να διασκεδάζουμε,

δεν είχαμε κινητά, smartphones, ή χαζά τηλέφωνα σαν το δικό μου, αλλά είχαμε υπολογιστές τσέπης.

Και ίσως να είχατε παίξει το ακόλουθο παιχνίδι σε υπολογιστή τσέπης,

όταν είσασταν σε μια ίσως βαρετή τάξη ή όταν θέλατε να κάνετε κάτι.

Ίσως απλά πληκτρολογούσατε έναν αριθμό

και μετά πατούσατε κάποιο πλήκτρο συνάρτησης ξανά και ξανά, ίσως το πλήκτρο τετραγωνισμού,

και αν αρχίζατε - εγώ άρχισα με τον αριθμό πέντε - σταδιακά ο αριθμός γίνεται πολύ μεγάλος και υπερχειλίζει τον υπολογιστή.

Και αισθάνεστε μια στιγμή θριάμβου! Και ίσως μετά να δοκιμάζετε τον αριθμό δύο, χτυπάτε το κουμπί ξανά και ξανά,

και πάλι υπερχειλίζει τον υπολογιστή, και αισθάνεστε ξανά τη στιγμή θριάμβου σας!

ΟΚ, δεν έχει και πολλή πλάκα, αλλά είχαμε μόνο υπολογιστές τσέπης τότε, ήταν το καλύτερο που μπορούσαμε να κάνουμε.

Αλλά αυτή η διαδικασία, το να πατάμε ένα κουμπί ξανά και ξανά, δίνοντας έναν αριθμό,

και επαναλαμβάνοντας τη συνάρτηση, οτιδήποτε είναι σ' εκείνο το κουμπί,

ξανά και ξανά και ξανά, αρχίζοντας με πέντε μας δίνει είκοσι πέντε, και στην έξοδο της συνάρτησης εφαρμόζουμε πάλι τη συνάρτηση,

και ούτω καθ' εξής, αυτό είναι Επανάληψη. Αν παίξατε ποτέ το παιχνίδι αυτό στον υπολογιστή,

ίσως μια εμπειρία πολλών ανθρώπων, καθώς βαριόμαστε συχνά και το μόνο που έχουμε για να διασκεδάσουμε είναι ένας υπολογιστής,

τότε έχετε επαναλάβει συναρτήσεις και στο παρελθόν. Έτσι κι αλλιώς, ας συνεχίσουμε με παραδείγματα.

Ας δούμε την Επανάληψη λίγο πιο λεπτομερειακά και ας παρουσιάσουμε την ορολογία και την σημειογραφία της.