В этом видео я бы хотел рассказать немного, о том как функцию можно представлять в виде графика.
Пока что мы рассматривали функции следующим образом. Напомню, функция это преобразование.
Она принимает на входе x, делает с ним что-то, вот тут коробка f которая делает что-то с x, и в конце мы получаем результат, который называем f(x).
Возвращаясь к нашему предыдущему примеру, утраивающей функции, мы могли бы описать это словами.
Взять ввод и... утроить его.
Это описание того, что делает функция. По-другому, мы можем описать функцию уравнением.
Вот она, f(x) = 3x. Это то, что есть на входе, это ваш вывод.
Давайте подумаем, как представить это в виде графика.
Для начала я составлю таблицу из пар чисел. Ввод тут, а вывод тут.
Итак ввод... пусть -2, тогда вывод будет -6. Поскольку мы берём ввод и умножаем на 3, -2 на 3 будет -6.
0 на входе даст 0 на выходе.
2 на входе даст 6, т.к. 3*2 = 6.
И еще один. 4 на входе даст 12 на выходе, т.к. 3*4 = 12.
Я могу взять эти пары чисел и нарисовать их на координатной плоскости. Я сделаю набросок того как это выглядит, а потом покажу более аккуратную распечатку.
Сначала нарисую оси.
По у, вертикальной оси, будет f(x), вывод. И значения на входе здесь, по горизонтальной оси.
И добавим шкалу.
Вот мои оси. И теперь нанесём точки.
Сделаю это другим цветом, чтобы они выделялись.
Нарисуем -2 и -6: это 2 по x влево и 6 вниз. Примерно вот тут.
(0,0), начало координат, вот тут, посередине. Это точка, где x = y = 0.
(2,6), нанесём её. 2 вправо, 6 вверх. Где-то тут.
И теперь (4, 12), 4 вправо, 12 вверх, вот тут. Вот мои четыре точки.
Таким образом, я беру эти точки и наношу их и оказывается, что это линия. Это линейная функция.
Можно просто соединить точки. Сделаю это фиолетовым - это и есть график функции.
Эта фиолетовая линия - функция. Она содержит в себе ту же информацию, что и текстовое описание или запись уравнением. И я бы мог сказать, мне нужна функция утраивающая ввод.
Или я бы мог описать функцию как f(x) = 3x или я бы мог просто показать вам этот график.
Суть в том, что всё это несёт одну и ту же информацию. Взглянем на аккуратную версию этого графика.
Вот распечатка с компьютера.
Мы видим, что она выглядит очень похоже на график который я нарисовал ранее.
И, опять-так, этот график содержит ту же информацию, что и эта формула. Так что я мог бы использовать его для нахождения пар ввод-вывод.
Например, мне нужно узнать f(10). Если у нас есть 10 и на него действует f, что тогда будет? Ну, я бы посмотрел на графике.
Вот мое входное значение 10. Я двигаюсь вверх до графика представляющего функцию и затем смотрю на вертикальной оси: значение около 30.
Конечно, нам не обязательно использовать график, если у нас есть формула, но суть в том, что если бы её не было,
мы бы всё-таки могли узнавать значения функций по графику.
Рассмотрим ещё один графический пример. Вот функция, вот её график.
Для разнообразия я назвал её h(x) вместо f или g. И формулы у нас нет и словесного описания тоже.
Значит, чтобы определить пары значений мы должны будем использовать этот график.
Посмотрим как это делать.
Положим, нам нужно h(4). Если 4 это ввод, какой тогда вывод? Входное значение здесь, это 4.
И тогда я спрашиваю, каково h(x) если x = 4? Это мне и скажет кривая. Высота кривой это значение в h(4) и я бы увидел это и сказал: "о, это примерно 10"
Итак h(4) примерно 10. И я бы мог поставить знак примерного равенства здесь, чтобы обозначить что это приблизительно. Может быть кривая идёт не совсем до 10. Мы не знаем, но это ничего.
Рассмотрим ещё несколько точек.
h(2). Если на входе 2, каково значение? Посмотрим. Вот мое значение 2 по x. h(2) это высота кривой.
И я бы посмотрел на кривую здесь и здесь, и сказал: "ну, вероятно в районе 6". Опять-таки, примерно, но это ОК.
И ещё одну. Скажем, h(-2). Теперь мой ввод -2. Каково значение функции? Это высота кривой вот тут, я смотрю, и говорю: "это около 2,5".
Не точно, примерно, ну и пусть.
Подводя итог, мы можем представить функцию словесным описанием, уравнением или графиком, и всё эти способы эквивалентны.
Указание графика - тоже самое, что задание формулой. Из графика можно получить все, что можно получить из формулы.
Хотя, с графиками работать легче, что мы и будем делать в этом и следующем модулях.