Το σημείο εκκίνησης των μαθημάτων μας είναι η μαθηματική έννοια της συνάρτησης.
Σε αυτή τη διάλεξη, θα μιλήσω για το τι είναι οι συναρτήσεις και το πώς να τις αντιλαμβανόμαστε,
πώς να χρησιμοποιούμε τη σημειογραφία συναρτήσεων, και πώς να μεταφράζουμε τις συναρτήσεις ως γραφήματα.
Ας αρχίσουμε.
Σε αυτά τα μαθήματα, πιστεύω πως ο καλύτερος τρόπος να αντιλαμβανόμαστε τις συναρτήσεις είναι ως δράσεις,
το οποίο και απεικονίζω εδώ. Έτσι, μία συνάρτηση είναι μία δράση.
Δέχεται μια είσοδο, έναν αριθμό x ως είσοδο...
f, η ονομασία της συνάρτησης, δρα με κάποιο τρόπο στο x,
και επιστρέφει ως έξοδο μια νέα τιμή, που αποκαλούμε f(x).
Έτσι, για να προσδιορίσουμε μια συνάρτηση πρέπει να καθορίσουμε τι είναι και τι κάνει αυτή η δράση.
Ως ένα απλό παράδειγμα, ας πούμε ότι η f είναι μια συνάρτηση που τριπλασιάζει την είσοδό της.
Έτσι, μπορούμε να γράψουμε μια εξίσωση γι' αυτό.
Μπορούμε να πούμε ότι η f του x ισούται με τρία x.
Έτσι, η f τριπλασιάζει την είσοδο.
Ας υποθέσουμε ότι η είσοδός μας είναι δύο.
Τότε η έξοδος θα είναι έξι, καθώς δύο φορές το τρία είναι έξι.
Χρησιμοποιώντας αυτή τη γραφή, θα λέγαμε ότι η f του δύο (αντικαθιστούμε το x με το δύο), θα είναι δύο φορές...ε...τρείς φορές το δύο ίσον έξι.
Έτσι λέμε ότι η f του δύο, ενεργώντας στην τιμή δύο, δίνει ως αποτέλεσμα έξι.
Ας δοκιμάσουμε μια άλλη είσοδο.
Η συνάρτησή μας, την ονομάζουμε f, ας πούμε ότι η είσοδος τώρα είναι πέντε,
η έξοδος θα είναι δεκαπέντε.
Πέντε φορές το τρία. F του πέντε - παίρνουμε πέντε για είσοδο και μας λέει να πράξουμε f σε αυτό, στην περίπτωση αυτή σημαίνει να το παλλαπλασιάσουμε επί τρία,
τρεις φορές το πέντε ισούται δεκαπέντε.
Ας δούμε άλλο ένα γρήγορο παράδειγμα.
Η ίδια συνάρτηση f.
Ας υποθέσουμε ότι η είσοδος τώρα είναι μηδέν.
Είναι...ε...τίποτα.
Μηδέν φορές το τρία είναι πάλι μηδέν, έτσι τώρα η έξοδος παίρνει την ίδια τιμή με την είσοδο.
Αν δεν έχεις τίποτα, και το τριπλασιάσεις, καταλήγεις πάλι με τίποτα.
Με αυτή τη σημειογραφία, η f του μηδέν είναι τρεις φορές
το μηδέν, και τρεις φορές το μηδέν είναι μηδέν.
Έτσι ο κανόνας είναι: x είναι η είσοδος
και έπειτα υπολογίζεις το αποτέλεσμα στη δεξιά μεριά
αντικαθιστώντας το x με ό,τι είναι ο αριθμός εισόδου στα δεξιά.
Έτσι εδώ που έχουμε δύο, αντικαθιστούμε το x με δύο.
Εδώ έχουμε πέντε, αντικαθιστούμε το x με πέντε. Αν για παράδειγμα
είχαμε την f να δρα σε κάποια άλλη μεταβλητή,
το γράμμα z, αυτό θα ήταν απλά τρεις φορές το z.
Η πραγματική τιμή θα εξαρτώνταν από το z.
Αν είχαμε κάτι όπως η f να δρα σε μια κούπα
- ποιος ξέρει τι να σημαίνει αυτό - έχεις μια κούπα, έτσι τριπλασιάζεις την κούπα,
και έχεις τρεις κούπες.
Ας κάνουμε άλλο ένα παράδειγμα.
Αυτή τη φορά η συνάρτηση, θα την πούμε g, θα είναι
x στο τετράγωνο συν ένα. Να θυμάστε, η συνάρτηση είναι μια δράση.
Παίρνει έναν αριθμό ως είσοδο, κάνει κάτι σε αυτό, και δίνει μια έξοδο, ένα αποτέλεσμα.
Ορίζουμε τη συνάρτηση λέγοντας ποια είναι αυτή η δράση.
Τι κανόνα ακολουθεί για να πάει από την είσοδο στην έξοδο.
Σε αυτήν την περίπτωση, ο κανόνας είναι: πάρε τον εισαγόμενο αριθμό,
τετραγώνισέ τον και πρόσθεσε ένα. Έτσι, ας υπολογίσουμε
τη συνάρτηση αυτή για μερικές διαφορετικές τιμές.
Έτσι, ας πούμε ότι η είσοδος είναι τρία.
Αυτό σημαίνει: g του τρία.
Έτσι τι κάνω; Παίρνω το τρία και το υψώνω στο τετράγωνο, αυτός είναι ο κανόνας,
τρία στο τετράγωνο συν ένα,
έχουμε: τρία στο τετράγωνο, αυτό είναι εννέα,
εννέα συν ένα ίσον δέκα. Έτσι λέμε ότι
η g του τρία είναι δέκα. Αρχίζουμε με τρία, η g δρα σε αυτό,
παίρνουμε δέκα. Χρησιμοποιώντας αυτή τη σημειολογία, εδώ είναι η g,
εισέρχεται το τρία, μέσα σ' αυτό το κουτί,
το τρία τετραγωνίζεται και μετά προστίθεται το ένα,
δίνοντας δέκα. Εντάξει.
Ας δούμε άλλο ένα παράδειγμα.
Ας υποθέσουμε ότι η είσοδός μας είναι μηδέν.
Έτσι αρχίζουμε με μηδέν και μετά του κάνουμε ότι μας λέει η συνάρτηση για να το υπολογίσουμε.
Η συνάρτηση λέει: τετραγώνισέ το και πρόσθεσε ένα.
έτσι έχουμε μηδέν στο τετράγωνο και προσθέτω ένα...
και μηδέν στο τετράγωνο, δηλαδή μηδέν επί μηδέν,
μηδέν επί μηδέν, μας κάνει πάλι μηδέν,
Έτσι η g του μηδενός είναι ένα. Θα είχαμε
ένα να εισέρχεται στο κουτί - συγγνώμη, θα είχαμε μηδέν να εισέρχεται στο κουτί
και ένα να εξέρχεται. Ας κάνουμε άλλο ένα.
Ας δοκιμάσουμε με έναν αρνητικό αριθμό τώρα.
Η είσοδός μας είναι μείον δύο.
Αυτό σημαίνει ότι παίρνουμε το μείον δύο,
το τετραγωνίζουμε και προσθέτουμε ένα.
Μείον δύο στο τετράγωνο, αυτό είναι
μείον δύο επί μείον δύο.
Μείον δύο επί μείον δύο, τα μείον αλληλοακυρώνονται,
θα είναι συν τέσσερα, συν ένα.
Θα είναι δηλαδή πέντε.
Μια ακόμα φορά να θυμίσω
για τη σημειογραφία. Παρατηρήστε ότι χρησιμοποιώ
παρενθέσεις εδώ κι εδώ, αλλά αυτές οι παρενθέσεις
σημαίνουν διαφορετικά πράγματα. Εδώ σημαίνει πολλαπλασιασμό.
Πάρε το μείον δύο, πολλαπλασίασε επί μείον δύο.
Εδώ αυτό δεν σημαίνει να πάρεις το μείον δύο και να το πολλαπλασιάσεις με g.
Εδώ σημαίνει πάρε τον αριθμό μείον δύο ως είσοδο της συνάρτησης
ή δράσης g και άσε την g να δράσει σε αυτό.
Η σημειογραφία μπορεί να μπερδεύει στην αρχή, ιδίως αν δεν την έχετε ξαναδεί,
αλλά είναι σημαντικό να θυμάστε ότι η συνάρτηση είναι μια δράση
και αυτός ο τύπος σημειογραφίας, ο τύπος της συνάρτησης,
οι παρενθέσεις μεταφράζονται ώς η τιμή εισόδου, δεν σημαίνει πολλαπλασιασμό.
Θα πούμε περισσότερα για τις συναρτήσεις στο επόμενο video.
Αλλά πριν παρακολουθήσετε το video, προτείνω να δοκιμάσετε το quiz
που ακολουθεί αμέσως μετα το video αυτό στην μπάρα πλοήγησης.
Να θυμίσω ότι τα quiz δεν αποτελούν μέρος της βαθμολογίας σας.
Τα score δεν καταγράφονται καν. Είναι απλά μια ευκαρία για σας
να εξασκηθείτε σε κάποιες από τις έννοιες που μαθαίνετε και να κάνετε ένα διάλειμμα από το να μ' ακούτε να μιλάω.
Δοκιμάστε το.